力学　斜めの運動　斜面上、放物線

　前回に続いて等加速度の運動。今回は斜め下、斜め上。

滑らかな斜面上の運動

　直線運動は水平方向、鉛直方向の他、斜面上の運動もある。
　床との摩擦がない場合（滑らかな場合）、斜角　θの斜面を初速　v₀で滑り降りる物体（ここでは質点）の斜面方向の加速度　a（斜め下を＋）は、
　ma ＝ mg sinθ
　　※　垂線＝斜辺×sinθ
　運動方程式だが、mが消えて、
　dv／dt ＝ g sinθ
　⇒　v ＝ g sinθ t ＋ v₀
　これはv ＝ at ＋ v₀のaにg sinθを入れた式
　さらにdx／dt ＝ g sinθ t ＋ v₀なので、
　⇒　Δx ＝ (1/2) g sinθ t² ＋ v₀t
　これはΔx ＝ x － x₀ ＝ (1/2)at² ＋ v₀tのaにg sinθを入れた式

　θ＝0°のとき、水平方向の等速［度］直線運動
　sin 0＝0なので、
　v ＝ v₀
　Δx ＝ v₀t

　θ＝90°のとき、鉛直方向の自由落下と同じ。
　sin 90＝1、y方向の下が＋なので、
　v ＝ gt ＋ v₀
　Δy ＝ (1/2)gt² ＋ v₀t

　滑らかでない斜面、床では摩擦係数がかかる。
　運動方程式はまた別の機会に。

放物線運動

　鉛直方向ではない落下、投げ上げ運動。斜め下、斜め上。
　斜角　θ、初速　v₀で斜め上に投げ上げられた物体（質点）は、
　水平方向と鉛直方向に分けられて、
　水平方向は等速［度］直線運動、
　鉛直方向は等加速度（重力加速度）　gの投げ上げ・自由落下。
　v₀の水平成分　v₀ cosθ
　　※　底辺＝斜辺×cosθ
　v₀の鉛直成分　v₀ sinθ

　v_x = v₀ cosθ
　Δx ＝ v₀ cosθ・t

　v_y = －gt ＋ v₀ sinθ
　Δy = －(1/2)gt²+ v₀ sinθ・t

x－y　放物線軌道

　時間　tを消去するとx－yの式になる。
　　t ＝ Δx／(v₀ cosθ)をΔyの式に代入。

　Δy ＝ －(1/2)g(Δx／v₀ cosθ)²+ v₀ sinθ・(Δx／v₀ cosθ)

　y ＝ Ax² + Bxの形

　yの最大値　y_maxは、
　y’ = 2Ax + B ＝ 0のとき　・・・　微分
　⇒　x = －B／2Aのとき
　⇒　x = tanθ / {g／(v₀²cos²θ)} = (v₀²sinθcosθ)／gのとき
　　※　tanθ＝sinθ／cosθ

　y_max ＝ －(v₀²sin²θ)／2g + (v₀²sin²θ)／g ＝ (v₀²sin²θ)／2g

　t = (v₀sinθ)／g

　v_y=0のとき最高点　y_maxなので、
　tを求めてからx、y_maxを求めたほうが簡単。

　なお、投げ下げた場合、v_y ＞ v₀ ＞ 0。放物線軌道の最高点はt ＜ 0側（下図の黄色）。

　t≠0、Δy＝0のとき、元の高さに落下
　Δx ＝ (2v₀²sinθcosθ)／g
　t ＝ (2v₀sinθ)／g

　地上から斜角30°で打ち上がったボールが120m先、地上高さ10mのところに飛んでいきました－－－
　－－－放物線軌道の式（空気抵抗無視）　Δy ＝ －gΔx²／(2v₀²cos²θ) + tanθ・Δxに値を代入
　　　　10 ＝ －9.8・120² ／(2v₀²・3/4) + (1/√3)・120
　　　　v₀ ＝ 39.8[m/s] ＝ 143.4[km/h]

　軌道要素　(x、y)、v、θ、tを与えて、求めて、……

　ポイント　－－－　sin・cos・tanに惑わされない。

　追）sin・cos・tanおよびsinθcosθの最大について

三角比　sin・cos・tan　まとめ

三角比　サイン　sin、コサイン　cos、タンジェント　tanのまとめ。sin・cos・tanは直角三角形の底辺　X、垂線　Y、斜辺　Zの比。sinθ ＝ 垂線　Y ÷ 斜辺　Z　cosθ ＝ 底辺　X ÷ 斜辺　Z

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　曲線運動は他にも
　円運動
　楕円運動
　双曲線運動
などがある。