力

ニュートン^ﾉ運動法則
　�T　慣性法則
　　慣性系　　　↓
　�U　運動法則
　　a ∝ F／m
　�V　作用反作用
　　物体Aから物体BへF_AB、物体Bから物体AへF_BA
　　　F_AB ＝ −F_BA

運動量　p　[kg・m/s]
　＝ mv
　＝ ∫^t₀ F dt

　運動量保存則　　　↓

力積　i　[N・s]　・・・　運動量の変化量　Δp
　＝ FΔt

力　F
　＝ ma ＝ m dv ／ dt　・・・　＝　運動方程式（運動法則）
　＝ dp ／ dt

　キログラム重（重力キログラム）　[kgf]
　　1[kgf] ＝ 1[kg]×g[m/s²] ＝ 9.80665[N]
　　　g：重力加速度
　トン重（重力トン）　[tf]
　　1[tf] ＝ 1000[kgf]

　ニュートン　[N]
　　1[N] ＝ 1[kg・m/s²]

　　[kN]、

　ダイン　dyne　[dyn]
　　1[dyn] ＝ 10^-5[N]

　重力
　　重さ（重量）

　　＝ mg

　　地球−物体
　　　万有引力　　　↓

　　　＝ GM_Em ／ r²

　　重力場　　　→

　単位体積重量　ω'
　　＝ ρg
　　　ρ：密度

　　水の単位体積重量
　　　＝ 9800[kg/m²s²] ＝ 1000[kgf/m³]

　中心力

　　向心力（求心力）　　　↓

　　万有引力
　　　＝ −G(m_Am_B) ／ r²　・・・　＝　万有引力^ﾉ法則
　　　　r：二体間の距離
　　　　・・・地球（質量M_E）の公転を円運動とみなした場合
　　　　　　　　a ＝ −v² ／ r ＝ −(2πr ／ T)² ／ r ＝ −4π²r ／ T²
　　　　　　　　ケプラー^ﾉ法則（調和）　r³ ／ T² ＝ k（定数）　　　→
　　　　　　　　F_E ＝ M_E × −4π²k ／ r²
　　　　　　　　太陽（質量M_S）にかかる力　F_SはF_Eと同じ大きさで、F_S ＝ k' M_S ／ r²の形で表せる
　　　　　　　　F ＝ −G(M_EM_S) ／ r²

　　　　万有引力定数　G　[N・m²/kg²]、[m³/(kg・s²)]
　　　　　＝ 6.672×10^-11

　　　　ガウス引力定数　k'　[rad/day]
　　　　　＝ √(GM_S／(1[AU]³)) × 86400　・・・　1[AU] ≒ 1.5×10⁸[km]、1[day] ＝ 86400[s]
　　　　　＝ 0.0172
　　　　　・・・F_E ＝ −G(M_EM_S) ／ r²より
　　　　　　　　4π²k ＝ GM_S
　　　　　　　　k ＝ r³ ／ T²、w ＝ 2π／Tより
　　　　　　　　w²r³ ＝ GM_S
　　　　　　　　　w：平均角速度（平均運動）　　　→

　　　　日心重力定数　GM_S
　　　　　＝ 1.327×10²⁰[m³/s²] ＝ 1.327×10¹¹[km³/s²]
　　　　　・・・GM_S ＝ 4π²r³ ／ T²

　　　　地心重力定数　GM_E
　　　　　＝ 3.9860×10¹⁴[m³/s²]　＝ 3.9860×10⁵[km³/s²]
　　　　　＝ 2.9755×10¹⁵[km³/d²]

　　　　　GM_E ＝ gR_E²
　　　　　　R_E：地球赤道半径
　　　　　　・・・　mg ＝ GM_Em ／ R_E²

　　　重力　　　↑

　　　一般相対性理論　　　→

　張力　τ

　表面張力

　応力（内力）
　　軸方向力、剪断力　　　→

　　弾性力（復元力）
　　　＝ −kΔx　・・・　＝　フック^ﾉ法則

　　　弾性係数（弾性率）　k、k'
　　　　大（硬）　…　小（柔）

　　　　バネ定数

　　　　ヤング係数　　　↓
　　　　剪断弾性係数　　　↓
　　　　体積弾性係数（体積弾性率）　K

　　　　　[Pa] 、[N/m²]

　　　　　圧縮率　1／K

　　応力度　　　→
　　　＝ k'(Δl／l)　・・・　＝　フック^ﾉ法則
　　　　Δl／l：歪み度

　　　垂直応力度　・・・　伸縮
　　　　＝ E × 縦歪み度
　　　　　E：ヤング係数（ヤング率）

　　　　　　[Pa] 、[N/m²]
　　　剪断応力度　・・・　ずれ
　　　　＝ G × 剪断歪み度
　　　　　G：剪断弾性係数（剛性率）

　　　　　　[Pa] 、[N/m²]

　抗力（抵抗力）
　　反力　　　→

　　垂直抗力　N

　　摩擦力

　　　運動摩擦力　F
　　　　F ＝ μ'N
　　　　　μ'：運動摩擦係数
　　　　　N：垂直抗力
　　　静止摩擦力

　　　　最大摩擦力　F₀　・・・　物体が動き出す直前
　　　　　F₀ ＝ μN
　　　　　　μ：静止摩擦係数

　　　　　　　N＝一定のとき
　　　　　　　　μ ＞ μ'

　　　摩擦熱

　　空気抵抗
　　　F ＝ k₁v ＋ k₂v² ＋ ・・・

　　　運動方程式
　　　　空気抵抗　∝　v
　　　　　m dv ／ dt ＝ mg−kv
　　　　空気抵抗　∝　v²
　　　　　m dv ／ dt ＝ mg−k'v²

　浮力

　　アルキメデス^ﾉ原理
　　　流体中の物体は、物体が排除した流体の重さ分の力を上向きに受ける

　　　海水の浮力　＞　真水の浮力

　　F ＝ ρV・g
　　　ρ：流体の密度
　　　V：物体の水没部の体積

　　　＝ wV
　　　　w：水の単位体積重量
　　　　　＝ ρg

　　　　　1気圧4[℃]で
　　　　　＝ 1000[kg/m³]×9.8[m/s²]
　　　　　＝ 9800([kg・m/s²]／[m³])
　　　　　＝ 1000[kgf/m³]

　揚力
　　ベルヌーイ^ﾉ定理　　　↓
　　　翼上面：負圧、流速（気流速度）大
　　　翼下面：正圧

　　F ＝ C × ρ／2 v² × S
　　　C：揚力係数

　　　　迎え角
　　　ρ：空気密度
　　　S：翼面積

　波力

　風力

　電弱力
　　電磁力
　　　静電気力、磁力　　　→
　　弱い力

　強い力（核力）　　　→

　慣性力　　　↓

運動量　　　↑

　運動量保存則
　　p₁ ＋ p₂ ＝ m₁v₁ ＋ m₂v₂ ＝ 一定
　　・・・　作用反作用　F₁₂ ＝ −F₂₁
　　　　　　m₁(dv₁／dt) ＋ m₂(dv₂／dt) ＝ 0
　　　　　　→　d／dt{(m₁v₁) ＋ (m₂v₂)} ＝ 0
　　　　　　dy／dt ＝ 0　→　y ＝ C（定数）より

角運動量　L
　＝ r×p ＝ r×mv　・・・　外積　　　→
　＝ Iω ＝ I(dθ／dt)
　　I：慣性モーメント　　　↓
　　ω：角速度

　向き　・・・　右ねじ（進行方向＝L）
　　　L
　　　｜＿　
　　　/　　p
　　r

　角運動量保存則
　　L₁ ＋ L₂ ＝ r₁×p₁ ＋ r₂×p₂ ＝ 一定

モーメント（トルク）　N
　＝ r×F
　＝ dL ／ dt
　＝ Iα ＝ I(dω／dt) ＝ I(d²θ ／ dt²)
　　α：角加速度

　ニュートン・メートル　[N・m]　・・・　エネルギーの次元

　　[kN・m]
　[kgf・m]

　向き　・・・　右ねじ（進行方向＝N）
　　　N
　　　｜＿　
　　　/　　F
　　r

　梃子（てこ）^ﾉ原理
　　r₁F₁ ＝ r₂F₂　(r₁＜r₂)　・・・　小さな力　F₂　→　大きな力　F₁
　　　r₁：支点〜作用点の距離
　　　r₂：支点〜力点の距離

　曲げモーメント、ねじりモーメント　　　→

　断面二次モーメント、断面一次モーメント　　　→

　慣性モーメント　　　↓

圧力　P
　＝ F ／ S
　　S：断面積

　パスカル　[Pa]
　　1[Pa] ＝ 1[N/m²]

　　ヘクトパスカル　[hPa]
　　　1[hPa] ＝ 1[mbar]
　　[MPa]、[kPa]、[μPa]
　重力キログラム毎平方メートル　[kgf/m²]
　重力キログラム毎平方センチメートル　[kgf/cm²]
　　1[kgf/cm²] ＝ 10⁴[kgf/m²]
　ポンド毎平方インチ　[psi]
　　1[psi] ＝ 6895[Pa]

　1[kPa] ≒ 0.01[kgf/cm²]　・・・　1[N] ＝ 1／9.8[kgf] ≒ 1／10[kgf]、1[kPa] ＝ 100[kgf/m²]

　気圧

　　[大]気圧（アトム）　[atm]
　　　1[atm] ＝ 760[mmHg] ＝ 101325[Pa] ＝ 1.01325×10⁵[Pa] ＝ 1013.25[hPa]
　　バール　[bar]
　　　1[bar] ＝ 10⁵[Pa]

　　　ミリバール　[mbar]
　　水銀柱ミリメートル（トル）　[mmHg]、[torr]
　　　1[mmHg] ＝ 133.322[Pa]

　　負圧　・・・　大気圧より低

　　真空　・・・　大気圧より極低

　　蒸気圧

　　　水蒸気圧

　　　　飽和水蒸気圧

　　風圧　　　→

　　音圧

　　　音の強さのレベル

　　　　ベル　[B]

　　　　　デシベル　[dB]

　　　　音圧レベル　SPL　Sound Pressure Level　L_P
　　　　　＝ 20 log₁₀ P／P₀

　　　　　基準音圧　P₀
　　　　　　ヒトの最小可聴音圧
　　　　　　＝ 20[μPa] ＝ 2×10^-5[N/m²]

　　　　　デシベル　[dB]、[dB_SPL]

　　　　音の大きさのレベル

　　　　　フォン　[phon]
　　　　　　x[phon]　＝　1[kHz]の純音の音圧レベルx[dB]

　　　　　騒音レベル　　　→

　水圧
　　＝ ω'h　・・・　ω'・hS ／ S
　　　ω'：水の単位体積重量
　　　h：深さ（高さ）

　　水深1000[m]で約100[atm]　・・・　1000[kgf/m³]×1000[m] ＝ 10⁶[kgf/m²] ＝ 10⁷[Pa]

　　浸透圧　　　→

　油圧

　土圧

　光圧

　荷重　　　→

湿度
　相対湿度　[％]
　　＝ 水蒸気圧／飽和水蒸気圧 × 100

　露点
　　相対湿度100％（水蒸気圧　＝　飽和水蒸気圧）の温度
　　水蒸気が水滴へ

　　結露　　　→

仕事、エネルギー　W、E
　＝ F × x ＝ ∫^x₀ F dx
　＝ P × t

　ジュール　Joule　[J]
　　1[J] ＝ 1[N・m]
　　　　 ＝ 6.241×10¹⁸[eV]

　　キロジュール　[kJ]、メガジュール　[MJ]、ギガジュール　[GJ]、テラジュール　[TJ]、ペタジュール　[PJ]、
　エルグ　[erg]
　　1[erg] ＝ 1[dyn・cm] ＝ 10^-7[J]

　電子ボルト（エレクトロンボルト）　[eV]　　　→

　力学的エネルギー　E
　　＝ K(x) ＋ U(x)
　　　・・・　F ＝ m dv／dt　→　Fv ＝ F dx／dt ＝ mv dv／dt　→　F dx ＝ mv dv
　　　　　　　∫v dv ＝ 1／2 v²＋C　→　∫F(x) dx ＝ m／2 v²＋c（定数）
　　　　　　　x ＝ x₀のときv ＝ v₀とすると∫F(x₀) dx ＝ 0、c ＝ −m／2 v₀²　→　∫F(x) dx ＝ m／2 v²−m／2 v₀²

　　力学的エネルギー保存則
　　　K(x) ＋ U(x) ＝ 一定
　　　　・・・　∫F(x) dx ＝ m／2 v²−m／2 v₀²　→　U(x₀)−U(x) ＝ K(x) −K(x₀)

　　運動エネルギー　K(x)、K
　　　＝ m／2 v²
　　　＝ p²／ 2m　・・・　p ＝ mv
　　ポテンシャル・エネルギー（位置エネルギー）　U(x)、U
　　　＝ −∫F(x) dx

　　　重力
　　　　＝ mgh

　　　地球−物体
　　　　万有引力

　　　　＝ GM_Em ／ r

　外部エネルギー
　内部エネルギー　・・・　分子レベル、原子レベル

　　熱量　　　→

　　核エネルギー　　　→

　電気エネルギー　　　→
　　電力量

　磁気エネルギー　　　→

　放射エネルギー　　　→

　　太陽エネルギー　　　→

　地震エネルギー　　　→

　自由エネルギー　　　→

　生体エネルギー　　　→

仕事率　P
　＝ dW ／ dt
　＝ F × v

　馬力

　　日本馬力
　　　＝ 750[W]
　　［仏］馬力　[PS]
　　　1[PS] ＝ 735.5[W]
　　英馬力　[hp]
　　　1[hp] ＝ 745.7[W]

　ワット　[W]
　　1[W] ＝ 1[J/s]
　　電力など

　　キロワット　[kW]
　　メガワット　[MW]
　　[GW]、[TW]

　[erg/s]
　　1[erg/s] ＝ 10^-7[J/s] ＝ 10^-7[W]

　電力　　　→

質点
剛体　　　↓

直線運動
　等速直線運動　・・・　v ＝ 一定
　　Δx ＝ vt
　等加速度直線運動　・・・　a ＝ 一定
　　v ＝ v₀ ＋ at
　　　v₀：初速度
　　Δx ＝ v₀t ＋ 1／2 at²　・・・　x(t)−x(0) ＝ ∫^t₀ v(t)dt

　　落下運動　・・・　a ＝ g
　　　v ＝ v₀ ＋ gt
　　　Δy ＝ v₀t ＋ 1／2 gt²
　　鉛直投げ上げ運動　・・・　a ＝ −g
　　　v ＝ v₀ − gt
　　　Δy ＝ v₀t − 1／2 gt²

曲線運動

　放物線運動
　　斜方投射　・・・　角度θで斜め上方へ投射
　　　水平方向　＝　等速直線運動
　　　　v_x ＝ v₀cosθ
　　　　Δx ＝ v₀cosθ・t
　　　鉛直方向　＝　鉛直投げ上げ運動
　　　　v_y ＝ v₀sinθ − gt
　　　　Δy ＝ v₀sinθ・t − 1／2 gt²
　　　物体の速さ　v
　　　　＝ √(v_x² ＋ v_y²)
　　　物体の向き　θ
　　　　＝ tan^-1（v_y ／ v_x）

　　　軌道
　　　　Δy ＝ −g／(2v₀²cos²θ)・Δx² ＋ tanθ・Δx
　　　　　・・・　t ＝ Δx ／ (v₀cosθ)を代入
　　　水平距離　Δx_L
　　　　＝ (2v₀²cosθ・sinθ) ／ g ＝ (v₀²sin 2θ) ／ g
　　　　　・・・　Δy ＝ 0　→　0 ＝ v₀sinθ・t − 1／2 gt²　→　t ＝ 0、(2v₀sinθ) ／ g
　　　　　　　　　　飛翔時間　t ＝ (2v₀sinθ) ／ g
　　　　　　　　　Δx_L ＝ v₀cosθ × {(2v₀sinθ) ／ g}

　　　　sin 2θ ＝ 1（θ ＝ π／2 ＝ 45°）のときΔx_L ＝ v₀² ／ g　・・・　MAX
　　　最高点　Δy_H
　　　　＝ (v₀²sin²θ) ／ 2g
　　　　　・・・　v_y ＝ 0　→　t ＝ v₀sinθ ／ g　→　Δy ＝ v₀²sin²θ ／ g − 1／2 (v₀²sin²θ) ／ g

回転運動
　円運動
　　等速円運動
　　　α ＝ dω／dt ＝ d²θ／dt² ＝ 0

　　　速度
　　　　動径方向（中心方向）　v_r
　　　　　＝ 0
　　　　方位角方向（接線方向）　v_θ
　　　　　＝ r(dθ／dt) ＝ rω　・・・　v ＝ dl ／ dt、dl ＝ r dθ　→　v ＝ r (dθ／dt)
　　　加速度
　　　　動径方向　a_r
　　　　　＝ −(v² ／ r) ＝ −rω²
　　　　方位角方向　a_θ
　　　　　＝ 0

　　　向心力（求心力）
　　　　＝ − m(v² ／ r)

　　　周期　T　　　→
　　　　＝ 円周／速度 ＝ 2πr ／ v ＝ 2π／ω
　楕円運動

振動　　　→

衝突／散乱

　はねかえり係数　e
　　弾性衝突　　e ＝ 1　・・・　力学的エネルギー保存
　　非弾性衝突　0 ≦ e ＜ 1　・・・　力学的エネルギー散逸　⇒　熱、変形

　　　完全非弾性衝突（合体）　e ＝ 0
分裂／崩壊

二体系

　重心（質量中心）
　　r_g ＝ (m₁r₁＋m₂r₂)／(m₁＋m₂)
　　　r₁、r₂、r_g：位置ベクトル
多体系

　重心（質量中心）
　　r_g ＝ (Σm_ir_i)／Σm_i

　　r_i ＝ r_g ＋ r'_i (i＝1、2、…)とするとΣm_ir'_i ＝ 0
　　・・・　Σm_ir_i ＝ Σm_ir_g ＋ Σm_ir'_i、Σm_ir_i ＝ Σm_ir_g

相対運動

　物体
　　　　＞　S'系から見た物体の位置　r' ／ 速度　v' ／ 加速度 a'
　S'系
　　　　＞　S系から見たS'系の位置　r₀ ／ 速度　v₀ ／ 加速度　a₀
　S系

　例）

物体	−	車上（車中）の物体	｜	エレベーターの中の物体	｜	地上の物体
S'系	−	車	｜	エレベーター	｜	地上（地球）
S系	−	地上	｜	地上	｜	宇宙

　S系から見た物体の位置　r ＝ r' ＋ r₀ ＝ r' ＋ v₀t

　相対速度
　　S系から見た物体の速度　v ＝ v' ＋ v₀　・・・　速度合成

　相対加速度
　　S系から見た物体の加速度　a ＝ a' ＋ a₀ ＝ a' ＋ da₀ ／ dt

　ガリレイ変換
　　x ＝ x' ＋ v₀t
　　y ＝ y'
　　z ＝ z'

　慣性系

　　慣性法則　　　↑

　　　・　慣性基準系の存在
　　　・　S系が慣性系、S'系も慣性系　・・・　互いに等速直線運動
　　　　v₀ ＝ 一定　→　a₀ ＝ 0　→　a ＝ a'
　　　　→　ma ＝ ma'　・・・　運動方程式が同じ
　非慣性系

　　回転座標系　　　↓

　慣性力　・・・　加速度と逆向き
　　−ma₀

　　遠心力
　　　−m(v² ／ r) ＝ −mrω²　・・・　円運動の加速度より

　　回転座標系　・・・　S'系

　　　ω ＝ 一定
　　　　遠心力　　　↑
　　　　　−mrω²
　　　　転向力（コリオリ^ﾉ力）
　　　　　S'系上の質点は螺旋運動

　　　　　−2mωv'
　　　　　　v'：S'系上の質点の速さ

　　　　（地球の）自転　　　→

　二体運動
　多体運動

　相対性理論　　　→

剛体

　慣性モーメント　I
　　中心軸をy軸としたとき
　　　Σⁿ_i=1 m_ix_i²
　　　＝ ∫ x² dM
　　　　m_i：断面図形の各質点の質量

　　平行軸^ﾉ定理
　　　y軸、重心を通る軸（‖y軸）周りの慣性モーメントをそれぞれI_x、I_Gとすると
　　　　I_x ＝ I_G ＋ x_g² M
　　　　　M：剛体の質量
　　　　　・・・I_x ＝ Σm_ix_i²、I_G ＝ Σm_ix'_i²
　　　　　　　　x ＝ x_g ＋ x'より
　　　　　　　　I_x ＝ Σm_i(x_g ＋ x')² ＝ x_g²Σm_i ＋ 2x_gΣm_ix'_i ＋ Σm_ix'_i²
　　　　　　　　Σm_i ＝ Mより
　　　　　　　　I_x ＝ x_g² M ＋ 2x_gΣm_ix'_i ＋ I_G
　　　　　　　　Σm_ix'_i ＝ 0より　・・・　多体系の重心　　　↑
　　　　　　　　I_x ＝ x_g² M ＋ I_G

　歳差運動　・・・　回転軸の首振り

流体

　流速　v
　流量　Q
　　＝ S × v
　　　S：断面積

　　[m³/s]

　　管内を定量で流れる場合
　　　連続^ﾉ法則
　　　　Q ＝ 一定

　パスカル^ﾉ原理
　　密閉空間の非圧縮性流体の場合、圧力が増減なく伝達される
　　F₁／S₁ ＝ F₂／S₂　(S₁＜S₂)　・・・　小さな力　F₁　→　大きな力　F₂

　ベルヌーイ^ﾉ定理　・・・　力学的エネルギー保存則
　　全圧（静圧　p ＋ 動圧　ρ／2 v²） ＋ ρgz ＝ 一定
　　→　p ／ ρg ＋ v²／2g ＋ z ＝ 一定
　　　ρ：流体の密度

　　　p ／ ρg：圧力水頭
　　　v²／2g：速度水頭
　　　z：位置水頭
　　　・・・　運動エネルギー　∫F(x) dx ＝ m／2 v²＋c（定数）
　　　　　　　動圧　P ＝ F ／ S
　　　　　　　ρ ＝ m ／ Sx

　　ピトー管　　　→

　　ベンチュリ管
　　　くびれ部　v大・p小

　非粘性流体
　粘性流体　・・・　流体に応力

　　細い管　・・・　流体に摩擦応力

　ニュートン流体　・・・　水、空気、
　非ニュートン流体　・・・　土石流、

　ナビエ−ストークス^ﾉ方程式　・・・　ニュートン流体の運動方程式

　気流

　水流

　　海流　　　→

　熱流　　　→

　磁気流体

波　　　→

※
記号の上付、下付ずれ有り