実数

 小数
  小数点

   固定小数点[方式]
    整数部.小数部
   浮動小数点[方式]
    仮数部×指数部
    例えば、2.55E-1 ・・・ 2.55×10-1

  有限小数
  無限小数

  循環小数

 有理数
  n/m (m≠0)

  整数

   奇数
    2n±1
   偶数
    2n

   奇数+偶数=奇数
    ・・・ (2n±1) + 2n = 2(2n)±1

   自然数
    正の整数

    素数   ↓
   0 零
   負数
  分数
 無理数 ・・・ 非循環無限小数
  分数の形で表せない

  累乗根   ↓
  円周率 π   ↓
  ネイピア数 e   ↓
  黄金比   ↓

複素数 x±iy
 実数   ↑
 虚数 i
  i2 = -1

 共役複素数
  x ∓ iy

無限大 ∞

絶対値 | |
 |a|
  a≧0のときa
  a<0のとき−a

 |a|≦n
  −n≦a≦n ・・・ a≧0のときa≦n、a<0のとき−a≦n
 |a|>n
  a<−n、n<a ・・・ a≧0のときa>n、a<0のとき−a>n

ガウス記号 [ ]
 [a] ・・・ aを超えない最大の整数

記数法
 2進数、8進数、16進数   
 10進数
  0〜9
 12進数
  0〜9、A、B

スカラー Scalar
 大きさ
ベクトル Vector A、\( \vec{OA} \)
 向き
 大きさ |A| = 長さ(ノルム) ||A||
  A = (Ax,Ay,Az)のとき、
   ||A|| = √(AA) = √(Ax2 + Ay2 + … + Az2)

 実ベクトル
 複素ベクトル

 単位ベクトル
  ijk

 線型独立 ・・・ お互い平行でない、同一平面上でない
  → 線型結合 A = Axi + Ayj + Azk

 BA
  \( \vec{AB}=\vec{AO}+\vec{OB}=\vec{OB}-\vec{OA} \)

 内積(スカラー積)
  AB = |A||B| cosθ

   A = (Ax,Ay,Az)、B = (Bx,By,Bz)のとき、
    AB = AxBx + AyBy + AzBz

  ii = 1 ・・・ |i| = 1、cos 0 = 1
  ij = 0 ・・・ |i| = |j| = 1、cos π/2 = 0

 外積(ベクトル積)
  A×B ・・・ ≠ B×A

   大きさ ||A×B||
    = |A||B| sinθ ・・・ = 平行四辺形の面積

   A = (Ax,Ay,Az) = Axi + Ayj + AzkB = (Bx,By,Bz) = Bxi + Byj + Bzkのとき、
    A×B = (AyBz−AzBy , AzBx−AxBz , AxBy−AyBx) = (AyBz−AzBy)i + (AzBx−AxBz)j + (AxBy−AyBx)k
     ・・・ 行列式   ↓
      \( = \left| \begin{array}{ccc} {\bf i}&{\bf j}&{\bf k}\\ A_{x}&A_{y}&A_{z}\\ B_{x}&B_{y}&B_{z} \end{array} \right| \)

   向き ・・・ 右ねじ(進行方向=A×B
     A×B
     |_ 
     /  B
    A

  (A×B)・A = (A×B)・B = 0 ・・・ A×BABは垂直、cos π/2 = 0

逆数

四則演算
 加減 ± ∓
  加 和 +
  減 差 −

  交換法則
   a+b=b+a
  結合法則
   (a+b)+c=a+(b+c)
 乗 積 × *

  交換法則
   ab=ba
  結合法則
   (ab)c=a(bc)
 除 商 ÷ /

  A = BQ + R
   Q:商

  剰余 R
   R = A mod B

 分配法則
  a(b+c)=ab+ac

 倍数

  公倍数

   最小公倍数 L.C.M. Least Common Multiple
 約数

  公約数

   最大公約数 G.C.M. Greatest Common Divisor

 互いに素
  最大公約数が1

総和 Σ、総乗 Π   

累乗(冪乗、べき乗)
 指数 an ・・・ a × a × … × a(n回目)

 底(てい) ・・・ 累乗される数

  ネイピア数(オイラー数) e
   = 2.71828…

   limn→∞ (1 + 1/n)n = e
   limn→0 (1 + n)1/n = e
   limn→0 log (1 + n)1/n = log e = 1

   en = exp(n)

 a0 = 1
 am×an = am+n
 am/an = am-n
 1/an = a-n
 (am)n = amn

 二乗(平方)

  九九

  10×10 = 100
  11×11 = 121
  12×12 = 144
  13×13 = 169
  14×14 = 196
  15×15 = 225
  16×16 = 256
  17×17 = 289
  18×18 = 324
  19×19 = 361
  20×20 = 400

累乗根 n

 根号(ルート) √

 平方根
  √a (a≧0)

  √(−a) = √a ・i (a>0)

対数 log
 常用対数 log10
  底:10
 自然対数 loge、ln
  底:ネイピア数 e   ↑

 loga 1 = 0
 loga an = n

 log xy = log x + log y
 log x/y = log x − log y

 底の変換公式
  loga b = logc b/logc a
br> 階乗 !
 n! = n × (n-1) × … × 2 × 1

 n個のものの並べ方 = n!通り

 0! = 1



 比例・反比例 ∝
  a:比例定数

  比例
   y ∝ x → y = ax
  反比例
   y ∝ 1/x → y = a/x
   y ∝-1 x

  比例式
   a:b = c:d ⇔ a×d = b×c
    ・・・ a/b = c/d

 黄金比 1:φ
  短:長 = 長:全体(短+長)となる比
  φ = 1.618…
   ・・・ |φ| = (1+√5)/2 ← φ2−φ−1 = 0 ← 1:φ = φ:(1+φ) (1<φ)

  フィボナッチ数列   ↓

因数、因子

 因数分解
  ma±mb = m(a±b)

  ac x2+ (ad+bc) x + bd = (ax+b)(cx+d)

  a2+2ab+b2 = (a+b)2
  a2−2ab+b2 = (a−b)2
  a2−b2 = (a+b)(a−b)

  a3+3a2b+3ab2+b3 = (a+b)3 ・・・ (a+b)2(a+b)
  a3−3a2b+3ab2−b3 = (a−b)3 ・・・ (a−b)2(a−b)
  a3+b3 = (a+b)(a2−ab+b2)
  a3−b3 = (a−b)(a2+ab+b2)

 素因数

  素数 ・・・ 無限個存在
   2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97、
   101、103、107、109、113、127、…

   フェルマー素数
    22n + 1
     n=0、1、2、3、4のとき成立
     3、5、17、257、65537

  素因数分解 ・・・ 素数×素数×…

等式
 等号 =

 恒等式
  合同記号 ≡

不等式   ↓
 不等号 >、<

  等号付
   ≧、≦

  非常に大/小
   ≫、≪

近似
 ≒、≈

否定
 ≠

方程式

 解(根)

 2次方程式 ax2+bx+c = 0
  x=(−b±√(b2−4ac)) / 2a
   ・・・ ax2+bx+cをA2−B2の形へ → a(x2+(b/a)x)+c → a(x+(b/2a))2−(b2/4a)+c → a(x+(b/2a))2−a((b2−4ac)/4a2)
       (x+(b/2a))2−(√(b2−4ac)/2a)2 = 0 → {x+(b/2a)+(√(b2−4ac)/2a)}{x+(b/2a)−(√(b2−4ac)/2a)} = 0

  判別式 D = b2−4ac
   D≧0:実数解 α、β
    D>0:α、β(≠α)
    D=0:重複解 α(=β)
   D<0:虚数解 α、β(≠α)

 高次方程式
  ・ 5次以上、解法なし
  ・ 何次でも複素数の範囲で必ず解(根)を持つ ・・・ 代数学の基本定理

 連立方程式

不等式
 不等号   ↑

 連立不等式

 シュワルツ不等式
  |ab|≦|a|・|b|
   ・・・内積 |ab|=|a|・|b|・|cosθ|
      |cosθ|≦1より|a|・|b|・|cosθ|≦|a|・|b|

 三角不等式 ・・・ 三角形の2辺の和は他の1辺より大
  |ab|≦|a|+|b|
   ・・・ (|a|+|b|)2−|ab|2=2|a|・|b|−2|ab|
       シュワルツ不等式より2(|a|・|b|)−|ab|)≧0

行列 Matrix A
  \( \left( \begin{array}{cccc} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn} \end{array} \right) \)

 行[ベクトル] Row
 列[ベクトル] Column

 零行列 O
 単位行列 E
   \( \left( \begin{array}{cccc} 1&0&\cdots&0\\ 0&1&\cdots&0\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&0&\cdots&1 \end{array} \right) \)

 転置行列 tA ・・・ 行列Aの縦横逆

 積 AB ・・・ ≠ BA

   \[ \left( \begin{array}{cc} a_{11}&a_{12}\\ a_{21}&a_{22} \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} b_{11}&b_{12}\\ b_{21}&b_{22} \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21}&a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22}\\ a_{21}b_{11}+a_{22}b_{21}&a_{21}b_{12}+a_{22}b_{22}\\ \end{array} \right) \]

 正方行列 ・・・ 行数=列数

  逆行列 A-1
   AA-1=A-1A=E

  対角行列 ・・・ 対角成分以外0

  行列式 |A|、det A
   |a b| = ad − bc
   |c d|

    \[ \left| \begin{array}{cc} a&b\\ c&d \end{array} \right| = ad-bc \]
    \[ \left| \begin{array}{ccc} a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33} \end{array} \right| = a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33}-a_{13}a_{22}a_{31} \]

   |A| = 0 ・・・ 全て0の行(列)が存在

 漸化式   ↓

 AX = B
  X = A-1B (|A| ≠ 0)

 Ax = λx
  x:固有ベクトル (x≠ 0)
  λ:固有値

  (λE−A)x = O

  固有方程式
   |λE−A| = 0

座標系

 位置ベクトル r

 直交直線座標
  X−Y−Z (x,y,z)
   X軸
   Y軸
   Z軸

   X−Y (x,y)

    第2象限|第1象限
    −−−−+−−−−
    第3象限|第4象限

 斜交座標

 [2次元]極座標 (r,θ)

  x = r cosθ
  y = r sinθ

  r = √(x2 + y2)
  tanθ = y/x

 球座標(3次元極座標) (r,θ,ψ)

論理   
 証明

  命題
   p ⇒ q ・・・ pならばq

    仮定 p
    結論 q

    否定 NOT
     \( \bar{p} \) ・・・ 「pでない」
     ¬p

    逆 q ⇒ p
    裏 \( \bar{p} \) ⇒ \( \bar{q} \)
    対偶 \( \bar{q} \) ⇒ \( \bar{p} \) ・・・ qでないならばpでない

   真偽
    真 True
    偽 False

    論理値(真理値)   ↓

   直接証明
    p 真
    ↓
    命題(p ⇒ q) 真
    ↓
    q 真

   対偶[証明]法 ・・・ 間接証明
    命題 真
    ↓
    対偶 真

   背理法(帰謬法) ・・・ 間接証明
    結論qの否定 \( \bar{q} \)
    ↓
    矛盾
    ↓
    結論qの否定の否定(二重否定) q
     ※ 排中律(qである、qでない、の二者択一)が成立する場合

 ∴ ゆえに
 ∵ なぜならば

 全称記号 ∀
  任意の〜 Any
 存在記号 ∃
  〜が存在 Exist

 論理演算
  論理和 OR ||、|
   p + q ・・・ 「pまたはq」
   p ∨ q
  論理積 AND &&、&
   p * q ・・・ 「pかつq」
   p ・ q
   p ∧ q

  否定的論理和 NOR ・・・ NOT(OR)
   \( \bar{p + q} \)
  否定的論理積 NAND ・・・ NOT(AND)
   \( \bar{p * q} \)

  排他的論理和 Exclusive-OR EOR、XOR
   p ⊕ q
   p ⊻ q

   \( p * \bar{q} + \bar{p} * q \)
   \( (p + q) * (\bar{p} + \bar{q}) \)

論理値(真理値)
 真 T 1
 偽 F 0

 ブール領域 B = {0、1}

集合 Set

 全体集合 Ω
 補集合 Ac、\( \bar{A} \)

 部分集合

  集合Aは集合Bに属する
   A⊆B、B⊇A

  真部分集合
   A⊂B、B⊃A

  類

 空集合 φ

 和集合(合併) ∪
 積集合(共通) ∩

 A⊂Ωのとき
  (Ac)c = A

  Ω = A∪Ac

 ド・モルガンの法則
  A⊂Ω、B⊂Ωのとき
   (A∪B)c = Ac∩Bc
   (A∩B)c = Ac∪Bc

 ベン図 Venn Diagram
 オイラー図 Euler Diagram

 閉集合
 開集合

 要素(元)

  最大値 max
  最小値 min

  上限 sup
  下限 inf

  要素aは集合Aに属する
   a∈A、A∋a

  (集合Aの)個数 n(A)
   n(Ω) = n(A) + n(Ac)

 領域

 空間   ↓

写像 f:X → Y ・・・ 変換
 X:定義域 Domain dom(f)
  原像
  (x,y)、
 Y:値域 Range ran(f)
  像
  (x',y')、

 x' = ax + by
 y' = cx + dy

  \[ \left( \begin{array}{c} x'\\ y' \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} a&b\\ c&d \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} x\\ y \end{array} \right) \]

 恒等変換
  (x',y') = E(x,y)

 相似変換
  (x',y') = kE(x,y)
   k:相似比

 原点(0,0)を中心に反時計回りθ[rad]回転移動
  x' = cosθ x − sinθ y
  y' = sinθ x + cosθ y

  \[ \left( \begin{array}{c} x'\\ y' \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} cos \theta&-sin \theta\\ sin \theta&cos \theta \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} x\\ y \end{array} \right) \]

 合成写像
  f:X → Y、g:Y → Z → g∘f:X → Z

  f∘f(x) = f(f(x))のとき
   fn(x) = f∘fn-1(x) = f∘f∘…∘f(x) ・・・ n回繰り返し

 関数(函数) Function y=f(x)
  x:独立変数
  y:従属変数

  平行移動
   x軸方向へp、y軸方向へq → y−q=f(x−p) → y=f(x−p)+q

  多変数関数 z=f(x,y)

  合成関数
   y=f(x)、z=g(y) → z=g(f(x))

  逆関数 x=f-1(y)

  三角関数
   △ABC(∠B=90°) 底辺 AB=X、垂線 BC=Y、斜辺 AC=Zのとき

   正弦関数(サイン) sine
    sin A = Y/Z
   余弦関数(コサイン) cosine
    cos A = X/Z
   正接関数(タンジェント) tangent
    tan A = Y/X = sin A / cos A
   正割関数(セカント)
    sec A = 1 / cos A = Z/X
   余割関数(コセカント)
    cosec A = 1 / sin A = Z/Y
   余接関数(コタンジェント)
    cot A = 1 / tan A = X/Y

   逆三角関数
    逆正弦関数(アークサイン)
     sin-1 Y/Z = A
    逆余弦関数(アークコサイン)
     cos-1 X/Z = A
    逆正接関数(アークタンジェント)
     tan-1 Y/X = A

   sin2θ + cos2θ = 1

   [°][rad]sin Acos Atan A
   00010
   30π/61/2√3/21/√3
   45π/41/√21/√21
   60π/3√3/21/2√3
   90π/210
   180π0−10
   −90−π/2−10−∞

   sin(−θ) = −sinθ
   cos(−θ) = cosθ
   tan(−θ) = −tanθ

   sin(θ+π/2) = cosθ、sin(θ+π) = −sinθ
   cos(θ+π/2) = −sinθ、cos(θ+π) = −cosθ

   sin(π/2−θ) = cosθ
   cos(π/2−θ) = sinθ
   tan(π/2−θ) = cotθ

   加法定理
    sin(α±β) = sinαcosβ±cosαsinβ
    cos(α±β) = cosαcosβ ∓ sinαsinβ

   倍角 2θ ・・・ 加法定理より
    sin 2θ = 2sinθcosθ
    cos 2θ = cos2θ−sin2θ
        = 1−2sin2θ = 2cos2θ−1

   合成
    a sinθ + b cosθ = √(a2+b2) sin(θ+α)
     cosα = a/√(a2+b2)
     sinα = b/√(a2+b2)
    ・・・ a sinθ + b cosθ = √(a2+b2)・{a/√(a2+b2)}sinθ + √(a2+b2)・{b/√(a2+b2)}cosθ = √(a2+b2)・(cosαsinθ + sinαcosθ)
        加法定理よりcosαsinθ + sinαcosθ = sin(α+θ)

  双曲線関数
   双曲線正弦関数 hyperbolic sine
    sinh x = (ex − e-x)/2
   双曲線余弦関数 hyperbolic cosine
    cosh x = (ex + e-x)/2
   双曲線正接関数 hyperbolic tangent
    tanh x = sinh A / cosh A = (ex − e-x)/(ex + e-x)

   逆双曲線関数
    arsinh sinh-1
     sinh-1x = log(x+√(x2+1))
     ・・・ sinh x = (ex − e-x)/2の両辺にexを掛けると
         2ex・sinh x = e2x − 1
         2次方程式 X2−2X・sinh x −1 = 0を解くとX = ex = sinh x+√{(sinh x)2+1} (ex>0)
         x = log(sinh x+√{(sinh x)2+1})
    arcosh cosh-1
     cosh-1x = log(x+√(x2−1))
     ・・・ 2ex・cosh x = e2x + 1
         2次方程式 X2−2X・cosh x +1 = 0を解くとX = ex = cosh x+√{(cosh x)2−1} (ex>0)
         x = log(cosh x+√{(cosh x)2−1})
    artanh tanh-1
     tanh-1 = (1/2)・log{(1+x)/(1−x)}
     ・・・ tanh x = (e2x − 1)/(e2x + 1)
         e2x(1−tanh x) = 1+tanh x
         2x = log{(1+tanh x)(1−tanh x)}

  導関数   ↓

 カオス

総和 Σ
 i=1Σn xi = x1 + x2 + … + xn

 i=1Σn 1 = n

 i=1Σn i = 1 + 2 + … + n = n(n+1) / 2
  ・・・ {1 + n} + {2 + (n−1)} + … + {n/2 + (n/2 + 1)} = {(1 + n) × (n/2)}

 i=1Σn i2 = 12 + 22 + … + n2 = n(n+1)(2n+1) / 6
  ・・・ (i+1)3 = i3 + 3i2 + 3i + 1 → (i+1)3 − i3 = 3i2 + 3i + 1
      23−13 = 3・12 + 3・1 + 1から
      33−23 = 3・22 + 3・2 + 1
      :
      (n+1)3−n3 = 3・n2 + 3・n + 1まで加算
      → (n+1)3−13 = 3Σi2 + 3Σi + n
      → 3Σi2 = (n+1)3 − 1 − 3/2 n(n+1) − n = n3 + 3/2 n2 + 1/2 n = n/2 (2n2 + 3n + 1) = n(2n+1)(n+1) /2

 i=1Σn i3 = 13 + 23 + … + n3 = {n(n+1) / 2}2
  ・・・ (i+1)4 = i4 + 3i3 + 3i2 + i + i3 + 3i2 + 3i + 1 → (i+1)4 − i4 = 4i3 + 6i2 + 4i + 1
      24−14 = 4・13 + 6・12 + 4・1 + 1から
      34−24 = 4・23 + 6・22 + 4・2 + 1
      :
      (n+1)4−n4 = 4・n3 + 6・n2 + 4・n + 1まで加算
      → (n+1)4−14 = 4Σi3 + 6Σi2 + 4Σi + n
      → 4Σi3 = (n+1)4 − 1 − n(n+1)(2n+1) − 2n(n+1) − n = n2(n2 + 2n + 1) = n2(n+1)2

 i=1Σnj=1Σmijj=1Σm1jj=1Σm2j + … + j=1Σmnj

総乗 Π
 i=1Πn xi = x1 × x2 × … × xn

数列

 収束

  コーシー列(基本列) ・・・ 有界
  収束列
   「収束列はコーシー列」
   「コーシー列は収束する部分列を持つならば収束列」

 発散

 等差数列 an+1−an = d
  一般項(第n項)
   an = a1 + (n−1)d
    a1:初項、d:公差

  総和 i=1Σn ai
   = a1n + (n−1)nd/2
   ・・・ i=1Σn a1i=1Σn (i−1)d

 等比数列 an+1/an = r
  一般項(第n項)
   an = a1・rn-1
    a1:初項、r:公比

  総和 i=1Σn ai
   = a1(1−rn)/(1−r)
    ※ r=1のときna1
   ・・・ i=1Σn ai = Snとおくと
       Sn = a1(r0 + r1 + r2 + … + rn-1)
       rSn = a1(r1 + r2 + … + rn-1 + rn)
       (1−r)Sn = a1(1−rn)

 階差数列
  bn = an+1−anのとき
   an = a1k=1Σn-1 bk (n≧2)
   ・・・n=2 → b1 = a2−a1
      n=k−1 → bk-1 = ak−ak-1
      n=k → bk = ak+1−ak
      bk + bk-1 + … + b1 = (ak+1−ak) + (ak−ak-1) + … + (a2−a1) = ak+1−a1

 フィボナッチ数列 Fibonatti
  an + an+1 = an+2 (a1 = a2 = 1)のとき
   an = 1/√5 [{(1+√5)/2}n−{(1−√5)/2}n] = 1/√5 {φn−(1−φ)n}
    φ:黄金比   ↑
   ・・・x2−x−1 = (x−α)(x−β) = x2−αx−βx+αβ
       黄金比 x ⇒ x2−x−1 = 0の解 ⇒ α=(1+√5)/2、β=(1−√5)/2
      よってan + an+1 = an+2 ⇒ an+2 − an+1 − an = 0  ⇒ an+2 − αan+1 − βan+1 + αβan = 0
      an+2 − αan+1 = β(an+1 − αan)
      an+1 − αan = β(an − αan-1) 、…なので
      an+2 − αan+1 = β(an+1 − αan) = β2(an − αan-1) = … = βn(a2 − αa1) = βn(1−α)
      同様にan+2 − βan+1 = α(an+1 − βan) = … = αn(a2 − βa1) = αn(1−β)
      an+2消去 ⇒ (α−β)an+1 = αn(1−β) − βn(1−α)
      an = {αn-1(1−β)−βn-1(1−α)} / (α−β)
      α=(1+√5)/2、β=(1−√5)/2代入
       α=1−β、β=1−α=−1/α、α−β=√5
        1/α = 2/(1+√5) = 2(1−√5)/−4 = −β
      an = (αn−βn) / √5

  フィボナッチ数
   a3=2、a4=3、a5=5、a6=8、a7=13、…

 漸化式   ↓

級数

 無限級数

  無限等比級数 Σa1・rn-1
   |r|<1のとき収束
    →a1/(1−r)
    ・・・ Sn = a1(1−rn)/(1−r)
        |r|<1のときrn→0
   |r|≧1のとき発散

   y/x = y/(1+x) + y/(1+x)2 + … + y/(1+x)n + …
    ・・・ 初項:y/(1+x) 、公比:1/(1+x) の無限等比級数の和は{y/(1+x)}/{x/(1+x)}

 三角級数

 フーリエ級数

  フーリエ展開   ↓

 級数展開
  テイラー展開
   f(x) = f(a) + (x−a)f′(a) + {(x−a)2 / 2!}f″(a) + … + {(x−a)n / n!} f(n)(a) + …

   マクローリン展開 ・・・ a=0のとき
    f(x) = f(0) + xf′(0) + (x2/2!)f″(0) + … + (xn/n!) f(n)(0) + …

    1/(1−x)2n=1Σ nxn-1
     ≒ 1 + 2x
    ex = 1 + x + x2/2! + x3/3! + … + xn/n! + …
    cos x = 1 − x2/2! + x4/4! − …
    sin x = x − x3/3! + x5/5! − …

    オイラー方程式 eix = exp(ix) = cos x + i sin x

  フーリエ展開
   f(x) = a0n=1Σ (an cos nx + bn sin nx)

漸化式(差分方程式)
 数列
  an+1 = f(an) (n∈N ・・・ n=自然数)

   等差数列、等比数列   ↑

 行列
  An+1 = AnA = AAn

  \[ \left( \begin{array}{cc} a_{n+1}&b_{n+1}\\ c_{n+1}&d_{n+1} \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} a_{n}&b_{n}\\ c_{n}&d_{n} \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} a&b\\ c&d \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} a&b\\ c&d \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} a_{n}&b_{n}\\ c_{n}&d_{n} \end{array} \right) \]

極限 Limit lim
 x→aのときf(x)→b ⇒ limx→a f(x) = b

 limn→∞ nx/an (x>0)
  a>1のとき 0
  0<a≦1のとき ∞

  limn→∞ nx/en = 0 (x>0)

 ネイピア数 e   ↑

微分

 変化 Δ
  微小変化 凵Ad

  変化量 Δx = x2−x1
  変化率 Δx/x

 導関数 y′、f′(x)、dy/dx
  f′(x) = lim凅→0 {f(x+凅)−f(x)} / 凅

  y = C(定数) → y′= 0
  d/dx xa = axa−1
  d/dx 1/x = −1/x2
  d/dx √x = 1/(2√x)
  d/dx ex = ex
   ・・・ d/dx ex = lim凅→0 (ex+凅−ex) / 凅 = lim凅→0 ex(e−1) / 凅
       e−1 = Xとおくと凅 = log (1+X)
       (e−1) / 凅 = X / log (1+X)
       凅→0のときX→0
       limX→0 X / log (1+X) = limX→0 1 / log (1+X)1/X = limX→0 1 / log e = 1
       lim凅→0 ex(e−1) / 凅 = ex
       結果、変わらない
  d/dx log |x| = 1/x
  d/dx sin x = cos x
  d/dx cos x = −sin x

  dy/dx = (dy/dz)(dz/dx)

   d/dx ax = (log a)ax
    ・・・ ax = ex log aなので
         両辺loge掛ければ同じ
        z = x log a → d/dx ez = ez × log a = ax × log a
   d/dx sin 2x = 2 cos 2x
    ・・・ z = 2x → d/dx sin z = cos z × 2
   d/dx sin2x = sin 2x
    ・・・ z = sin x → d/dx z2 = 2z × cos x = 2 sin x・cos x

  y = f(x)・g(x)のとき
   y′= f′(x)・g(x) + f(x)・g′(x)

  2階導関数 y″、f″(x)、d2y/dx2

  n階導関数 y(n)、f(n)(x)、dny/dxn

 偏微分 ∂ ・・・ 多変数関数の微分

  偏導関数
   fx、∂f(x,y)/∂x
    = lim凅→0 {f(x+凅,y)−f(x,y)} / 凅
   fy、∂f(x,y)/∂y
    = lim凉→0 {f(x,y+凉)−f(x,y)} / 凉

 全微分

 極値(極大値・極小値)
  x=cでf(x)が極値のとき、f′(c) = 0 (f′(c)が存在する場合)
   f(c):極値
    極大値 ・・・ x増加のとき、f′(x)が増加から減少
    極小値 ・・・ x増加のとき、f′(x)が減少から増加

 最大値・最小値
  閉区間[a,b]において
   f(x)の全極値、f(a)、f(b)のうち最大・最小の値がf(x)の最大値・最小値

 微分方程式 ・・・ 導関数(y′など)からy = f(x)を求める
  y′= ky ⇒ y = Aekx (A:任意定数)
   ・・・ (1/y)y′= k → ∫(1/y)dy = ∫k dx
       log |y|+C(定数) = kx → log |y| = kx + C'
       |y| = ekx+C'
       ±eC' = Aとおくとy = Aekx
  y′= kxy ⇒ y = Aekx2 (A:任意定数)
   ・・・ (1/y)y′= kx → ∫(1/y)dy = ∫kx dx
       log |y|+C = kx2 → log |y| = kx2 + C'
       |y| = ekx2+C'
       ±eC' = Aとおくとy = Aekx2
  y″= 0 ⇒ y = C1x + C2 (C1、C2:任意定数)

  偏微分方程式

   波動方程式   

近似式
 x≒0のとき
  f(a+x)≒f(a) + xf′(a) + (x2/2)f″(a)
   テイラー展開   ↑

   (1+x)n≒1 + nx + n(n−1) x2/2
    ・・・ f(h) = hnのとき、f′(h) = nhn-1、f″(h) = n(n−1)hn-2
        f(1) = 1、f′(1) = n、f″(x) = n(n−1)

  sin x≒x
  cos x≒1
  tan x≒x

積分 ∫

 y′= 0 → y = C(定数)

 ∫a dx = ax + C
  C:積分定数
 ∫xa dx = 1/(a+1) ・xa+1 + C (a≠−1)
 ∫ex dx = ex + C
  ・・・ d/dx ex = exの逆算
 ∫(1/x) dx = log |x| + C
  ・・・ d/dx log |x| = 1/xの逆算
 ∫cos x dx = sin x+C
  ・・・ d/dx sin x = cos xの逆算
 ∫sin x dx = −cos x+C
  ・・・ d/dx cos x = −sin xの逆算

 ∫cos 2x dx = sin 2x / 2 +C
  ・・・ d/dx sin 2x = 2 cos 2xの逆算

 ∫sin2x dx = x/2 − sin 2x / 4
  ・・・ 倍角 cos 2θ = 1−2sin2θ → sin2θ = (1−cos2θ)/2
      ∫sin2x dx = x/2 − ∫cos 2x / 2

 定積分
  区分求積法
   ∫ba f(x)dx = limn→∞ i=1Σn f(xi)凅 ・・・ n個(n→∞)の長方形の面積の和

  ∫aa f(x)dx = 0
  ∫ba f(x)dx = −∫ab f(x)dx

 置換積分
  ∫ba f(x)dx = ∫BA f(g(t)) (dx/dt) dt
   b = g(B)、a = g(A)

 部分積分
  ∫f′(x)g(x)dx = f(x)g(x)−∫f(x)g′(x)dx

   f′(x)=1のとき ・・・ f(x)=xのとき
    ∫g(x)dx = xg(x)−∫xg′(x)dx

  ∫log|x| dx = x log|x| − ∫x・(1/x) dx = x log|x| − x

 刀@・・・ 1周期(1サイクル)積分
  = ∫ + ∫ + ∫ + …

 重積分 ∬

 三重積分 ∭

 積分方程式

 弧長(曲線の長さ) l

  曲線y=f(x)(a≦x≦b)の弧長
   l=∫ba √{1+f′(x)2}dx
   ・・・ 点P(x,f(x))、点Q(x+凅,f(x+凅))間の弧長 PQlをl(x+凅)−l(x)とする
       点P、点Q間の[直線]距離 PQ = √{凅2 + (f(x+凅)−f(x))2}
       {l(x+凅)−l(x)} / 凅 = (PQl/PQ) √{凅2 + (f(x+凅)−f(x))2}/凅
       凅→0のときPQl=PQ
       lim凅→0 {l(x+凅)−l(x)} / 凅 = √{1 + lim凅→0 {(f(x+凅)−f(x)) / 凅}2}
       dl/dx = √{1 + (dy/dx)2}

   媒介変数 x(t)、y(t)(α≦t≦β)の場合
    l=∫βα √{x′(t)2 + y′(t)2}dt
    ・・・ l=∫βα √{1+((dy/dt)/(dx/dt))2}(dx/dt)dt
        =∫βα √{(dx/dt)2+(dy/dt)2}dt

  キルビメーター

 面積 S

  曲線y=f(x)(≧0)とx軸、x=a、x=b(a<b)で囲まれた図形の面積
   S=∫ba |f(x)|dx

  プラニメーター(面積計)

 体積 V

  立体をx軸に垂直な平面で切ったときの断面積をS(x)とすると
   V=∫ba S(x)dx

角 ∠
 角度   

 鋭角
  0°〜90°
 直角 、∠R
  90°
 鈍角
  90°〜180°

 中心角   ↓



 原点(0,0)

 点(x1,y1,z1)、点(x2,y2,z2)間の[ユークリッド]距離
  = √{(x2−x1)2+(y2−y1)2+(z2−z1)2}

閉区間 [a,b] ・・・ a≦x≦b
開区間 (a,b) ・・・ a<x<b

直線 Ax+By+C = 0
 y = ax+b
  a:傾き、b:切片
 x/a' + y/b' = 1
  a':x切片、b':y切片

 線分

  開線分 ・・・ 端点含まず

 点(x1,y1)を通る直線
  y−y1 = a(x−x1)
   ・・・ y = ax+b、y1 = ax1+bより
 点(x1,y1)、点(x2,y2)を通る直線
  y−y1 = {(y2−y1)/(x2−x1)} (x−x1) (x1≠x2)
   ・・・ y2−y1 = a(x2−x1)より

 平行 ‖
  y = ax+b、y = αx+βが平行
   → a=α
 垂直 ⊥
  y = ax+b、y = αx+βが直交
   → aα=−1 ・・・ 直交条件
   ・・・交点を原点とし、y=ax、y=αx、x=cで囲んだ△OPQが直角三角形のとき
       O(0,0)、P(c,ac)、Q(c,αc)
      PQ2=OP2+OQ2 ・・・ 三平方定理   ↓
      (αc−ac)2={c2+(ac)2}+{c2+(αc)2}
      (α−a)2=(1+a2)+(1+α2)
      −2aα=2

分点
 線分ABをm:nに分ける点
  (na+mb)/(m+n)
   m>0、n>0のとき内分
   mn<0のとき外分 ・・・ 分点が線分の外
   ・・・分点をPとすると\( \vec{OP}=\vec{OA}+\vec{AP} \)、\( \vec{AP}=\frac{m}{m+n}\vec{AB} \)
      pa + {m/(m+n)}(ba)

  a = (x1,y1,z1)、b = (x2,y2,z2)のとき
   ((nx1+mx2)/(m+n),(ny1+my2)/(m+n),(nz1+mz2)/(m+n))

接線
 y=f(x)の点(a,f(a))
  y−f(a)=f′(a)(x−a)

法線 ・・・ ⊥ 接線
 y=f(x)の点(a,f(a))
  y−f(a)=−{1/f′(a)}(x−a) ・・・ 直交条件より

漸近線

軌跡

 媒介変数(助変数) Parameter

曲線

 弧長(曲線の長さ)   ↑

 閉曲線

 円錐曲線 ・・・ 円錐の切り口
  2次曲線

  双曲線
   F1P − F2P = 一定となる点Pの軌跡
    F1、F2:焦点

   x2/a2 − y2/b2 = 1

   双曲線関数   ↑

   漸近線   ↑

  放物線
   FP = lPとなる点Pの軌跡
    F:定点
    l:定直線 x = p

   x2 = 4py
   y = ax2+bx+c

  楕円
   F1P + F2P = 一定となる点Pの軌跡
    F1、F2:焦点

   x2/a2 + y2/b2 = 1
   x = a cosθ、y = b sinθ

   極方程式 ・・・ 極座標
    r = a(1−e cosθ)

   r = a−ex

   長径(長半径、長軸半径) a
   短径(短半径、短軸半径) b

   離心角 θ

   離心率 e
    = √(a2−b2) / a

   b = a √(1−e2)

   準線
    x = ±a/e

   偏平率(扁平率) f
    = (a−b)/a

   e = √{f(2−f)}
   ・・・b/a = √(1−e2)、f = 1−b/aより
      f = 1−√(1−e2)
      1−e2 = (1−f)2
      e2 = 2f − f2

   曲率 κ ・・・ 曲がり具合
    = lim 冲→0 (刄ニ/冤)
     刄ニ:(t+冲)時の接線とt時の接線のなす角
     冤:弧長
      = l(t+冲)−l(t)

   曲率半径 R
    急カーブ ← 小 − R − 大 → 直線(R=∞)

    = 1/κ

   面積 S
    =πab

   円 x2+y2 = r2 ・・・ a = b = r
    x = r cosθ、y = r sinθ

    径
     直径 Diameter D、φ
      D = 2r
     半径 Radius r

    円周率 π
     = 円周/直径
     = 3.14159…

    円周
     = 2πr

     弦

    面積 S
     =πr2
      ・・・S=∫r0 √(r2−x2) dx × 4
         x = r cosθで置換
         S=∫0π/2 r√(1−cos2θ) (dx/dθ) dθ × 4
          dx/dθ = −r sinθより
         S=∫0π/2 r2sin2θ dθ × 4
         ∫sin2x dx = x/2 − sin 2x / 4より
         S=r2(π/4) × 4 = πr2

    扇形
     中心角 θ

     円周角 θ/2 ・・・ π−{(2π−θ)/2}

     弧
      弧長 l
       l = rθ ・・・ θ[rad]:π[rad] = l:πr

     面積 S
      =1/2 r2θ ・・・ θ[rad]:2π[rad] = S:πr2
      =1/2 rl

    半円
     中心角 π

     円周角 π/2

 楕円曲線
  3次曲線

  y2 = x(x−a)(x+b)

 リサジュー図形   

 懸垂線(カテナリー曲線) ・・・ 自然界でみられる曲線
  y = a cosh (x/a) = a (ex/a + e-x/a)/2

 カッシーニ卵形[線]
  F1P × F2P = 一定となる点Pの軌跡

  (x2+b2+y2)2−4x2b2 = a4
   ・・・ 点P(x,y)、点F1(−b,0)、点F2(b,0)のとき
       √{(x+b)2+y2} × √{(x−b)2+y2} = a2(一定)
       両辺2乗 → (x2+2xb+b2+y2)(x2−2xb+b2+y2) = a4

  a=bのとき
   レムニスケート ・・・ 横8の字
    極座標
     r2 = 2a2cos 2θ

    (x2+y2)2−2a2(x2−y2) = 0
    ・・・ a=bのときx4+y4−2x2a2+2y2a2+2x2y2 = 0
        x = r cosθ、y = r sinθ
        → r4 = 2a2r2cos 2θ
  b=0のとき
   円

 サイクロイド ・・・ 直線上を転がる円の円周上の定点の軌跡
  x = r(θ−sinθ)、y = r(1−cosθ)

 アステロイド(内サイクロイド) ・・・ 円の内周を転がる円の円周上の定点の軌跡
  x2/3 + y2/3 = r2/3

  x = r cos3θ、y = r sin3θ

 カージオイド(外サイクロイド) ・・・ 円の外周を転がる円の円周上の定点の軌跡
  極座標
   r = a(1+cos θ)

  (x2+y2)(x2+y2−2ax) −a2y2 = 0
  ・・・ x = r cosθ、y = r sinθ
      → r2−2ar cosθ − a2sin2θ = 0
        r2−2ar cosθ − a2(1−cos2θ) = 0
        (r−a cos θ)2 = a2

  x = a(1+cos θ)cos θ、y = a(1+cos θ)sin θ

 クロソイド曲線
  曲率半径 × 始点からの弧長 = 一定となる点の軌跡

  道路線形   
   速度一定、ハンドルの角速度一定で回転した場合の走行軌跡

合同 ≡
相似 ∽

 相似比 k

 面積比 k2
  ・・・ 三角形 S = 1/2 ab、S' = 1/2 ka・kb = k2S
      円 S = πr2、S' = π(kr)2 = k2S
 体積比 k3

三角形 △
 内角の和 = 180°

 面積 S
  = 1/2 × 底辺 × 高さ

  △ABC ∠A=θのとき
   S = 1/2 × AB × AC × sinθ

 正三角形
 二等辺三角形
 直角三角形
  △ABC(∠B=90°) 底辺 AB=X、垂線 BC=Y、斜辺 AC=Zのとき

   三平方定理(ピタゴラス定理)
    Z2 = X2 + Y2

   三角関数   ↑

 合同   ↑
  ・ 3辺が等しい
  ・ 2辺とその間の角が等しい
  ・ 1辺とその両端の角が等しい
 相似   ↑
  ・ 3辺の比が等しい
  ・ 2辺の比とその間の角が等しい
  ・ 2角が等しい

 中線 ・・・ 頂点 − 向かい合う辺の中点

 中線連結定理
  △ABCの辺AB、ACの中点をM、Nとすると
   MN ‖ BC
   MN = 1/2 BC

 重心
  3つの中線の交点
  g = (abc)/3

  a = (x1,y1)、b = (x2,y2)、c = (x3,y3)のとき
   ((x1+x2+x3)/3,(y1+y2+y3)/3)

  中線の2:1の内分点
   ・・・ g = (a+2m)/3、m = (bc)/2より

 内接円

  内心 ・・・ 内接円の中心
 外接円

  外心 ・・・ 外接円の中心

 正弦定理
  △ABC AB=c、BC=a、AC=bのとき
   2R = a / sin A = b / sin B = c / sin C
    R:外接円の半径
   ・・・ 0 < ∠A < π/2のとき、BDを直径とする△BDCをつくるとBD = 2R、∠A = ∠D、∠BCD = π/2
       BC = BD sin D

 余弦定理
  a2 = b2 + c2 − 2bc cos A
  ・・・ 三平方定理よりa2 = (b sin A)2 + (c − b cos A)2
      = b2(sin2A + cos2A) + c2 − 2bc cos A

四角形 □
 △×2
 内角の和 = 360°

 長方形

  面積 S
   = 縦 × 横

  正方形
 平行四辺形

  面積 S
   = 底辺 × 高さ

   平行四辺形ABCD ∠A=θのとき
    S = AB × AD × sinθ
 台形
 菱形

多角形
 n角形
  △×(n−2)
  内角の和 = 180°× (n−2)

 五角形
 六角形

平面
 ax+by+cz+d = 0

 法線ベクトル n ・・・ 平面に垂直なベクトル
  = (a,b,c) ・・・ x、y、zの係数がベクトルの成分

  平面OABの法線ベクトル
   = A×B ・・・ 外積

 2平面のなす角 θ
  平面1:ax+by+cz+d = 0
  平面2:a'x+b'y+c'z+d' = 0

  cos θ = (nn')/(|n||n'|) = (aa' + bb' + cc') / {√(a2 + b2 + c2) × √(a'2 + b'2 + c'2)} ・・・ 内積
   平面1の法線ベクトル n = (a,b,c)
   平面2の法線ベクトル n' = (a',b',c')

 射影

  正射影
   直線ABの平面上への正射影 A'B'
    A'、B':点A、Bから平面へ下した垂線の足

    A'B' = AB cosθ ・・・ 内積と同じ

立体
 多面体

  角柱   ↓

   直方体

    体積 V
     = 縦 × 横 × 高さ

    立方体 Cube ・・・ 正四角柱

  角錐   ↓

  四面体
   三角錐   ↓

   重心
    4線(頂点 − 向かい合う面の重心)の交点
    g = (abcd)/4

    a = (x1,y1,z1)、b = (x2,y2,z2)、c = (x3,y3,z3)、d = (x4,y4,z4)のとき
     ((x1+x2+x3+x4)/4,(y1+y2+y3+y4)/4)

    (頂点 − 向かい合う面の重心)の3:1の内分点
     ・・・ g = (d+3G)/4、G = (abc)/3より

   正四面体 = 正三角錐

  六面体

   正六面体 = 立方体

   平行六面体

  正多面体
   正四面体、正六面体   ↑
   正八面体
   正十二面体
   正二十面体

 柱体

  体積 V
   = 底面積 × 高さ
  側面積 S
   = 底面の周長 × 高さ

  角柱
   側面:四角形

   三角柱
    底面:三角形
   四角柱
    底面:四角形

    直方体   ↑

    正四角柱
     底面:正方形

     立方体   ↑
  円柱

 円筒

 錐体
  角錐
   側面:三角形

   体積 V
    = 1/3 × 底面積 × 高さ
    ・・・ 原点からy軸方向へ高さhの錐体をとる(0≦y≦h)
        錐体の底面及び高さyでy軸と垂直な平面に切られた断面は相似図形(相似比=h:y)
        錐体の底面積S及び高さyで切られた断面積S(y)の面積比は相似比の2乗 → S:S(y) = h2:y2
        S(y) = (y2 / h2) S
        ∫(y2 / h2) dy = y3 / (3h2)
        V=∫h0 S(y)dy = ∫h0 (y2 / h2) S dy = (h / 3) S

   三角錐
    底面:三角形

    正三角錐
     底面:正三角形

     正四面体   ↑
   四角錐
    三角錐×2
    底面:四角形
  円錐

 楕円体 x2/a2 + y2/b2 + z2/c2 ≦ 1

  地球楕円体   

  球 x2+y2+z2 ≦ r2

   体積 V
    4/3 × πr3
   表面積 S
    4πr2

   球面 x2+y2+z2 = r2

 球殻

 円環体(トーラス)

 展開

 曲面

  球面   ↑

  メビウスの輪(メビウスの帯)
   表裏がない

トポロジー(位相幾何学) Topology ・・・ あらゆる図形の本質探究
 オイラー標数
  図形の頂点の数 Vertex − 図形の辺の数 Edge + 図形の面の数 Face

  多面体定理
   V−E+F=2

   立方体 ・・・ 8−12+6=2

  オイラー定理
   2つの図形が同相 ⇒ オイラー標数は同じ ⇒ トポロジー不変量
    逆は成り立つとは限らない

乱数

順列 Permutation nPr、P(n,r)
 異なるn個のものからr個とって並べる方法の数
 P(n,r) = n! / (n−r)! ・・・ n × (n−1) × … × (n−r+1)

 P(n,n) = n! ・・・ n個のものの並べ方 = n!通り   ↑

重複順列
 異なるn個のものから重複を許してr個とって並べる方法の数
 nr ・・・ n × n × … × n(r回目)

組合せ Combination nCr
 異なるn個のものからr個選ぶ方法の数(順序関係なし)
 nCr = P(n,r) / r! = n! / {r!(n−r)!} = {n × (n−1) × … × (n−r+1)} / r!
  ・・・選んだr個のものの並べ方 = r!通り
     順序関係ないので、nCr × r! = P(n,r)

 nCrnCn-r

 nC0nCn = 1

重複組合せ nHr
 異なるn個のものから重複を許してr個選ぶ方法の数(順序関係なし)
 = n+r-1Cr
  ・・・ 選んだr個と(n-1)個の仕切りから成る並びの組合せ数と同じ値
      = r+(n-1)個の並びへ(n-1)個の仕切りを入れる方法の数と同じ値

確率 Probability
 事象Eが起こる確率 P(E)
  = 事象Eの場合の数 n(E)/全ての場合の数 n(N)

  0≦P(E)≦1

  和
   全体 p + q + … = 1
    Aとなる確率 p
    Bとなる確率 q
    :

  積

   繰り返し

    p・q・ …
     1回目の確率 p
     2回目の確率 q
     :

 余事象 P(\( \bar{E} \))
  = 1−P(E)

 和事象 P(E∪F) ・・・ 事象Eまたは事象Fが起こる
  = P(E) + P(F) − P(E∩F)

 積事象 P(E∩F) ・・・ 事象Eと事象Fが共に起こる
  = P(E)・P(F|E)
  = P(F)・P(E|F)

  条件付き確率 PE(F)、P(F|E) ・・・ 事象Eが起こったとき事象Fが起こる
   = P(E∩F)/P(E)
   = (P(F)・P(E|F)) / P(E) ・・・ ベイズ定理

   ベイズ推定   ↓

  排反 ・・・ 事象Eと事象Fのどちらかしか起こらない
   P(E∩F) = 0

 事象Eが起こる確率 pの試行をn回繰り返したとき、事象Eがr回起こる確率 P'(E)
  = nCr pr(1−p)n-r
   1−p:事象Eが起こらない確率
   ・・・1回目の確率 pまたは1−p、2回目の確率 pまたは1−p、…
      n回目までの確率 pr(1−p)n-r
      その組合せ nCr通り

 二項定理
  (a+b)nr=0Σn nCr an-rbr = annC1 an-1b + nC2 an-2b2 + … + bn
   nCr:二項係数

   n=2 → a22C1 ab+b2
   n=3 → a33C1 a2b+3C2 ab2+b3

 確率密度関数 p(x)
  p:確率
  x:確率変数

  確率分布   ↓

統計

 データ(階級値)

  度数

   相対度数 fi/n → 確率

   累積相対度数 ・・・ 0〜1

 代表値

  最頻値(モード) Mode ・・・ 度数最大のデータ

  中央値(メディアン) Median ・・・ 昇順(降順)に並べたデータの中央の値(2つ並んだ場合その平均値)

  平均値
   相加平均(算術平均) μ、M(x)
    = (x1 + x2 + … + xn) / n = i=1Σn xi / n

    加重平均 ・・・ 各項重み付け

   相乗平均(幾何平均)
    = n√(x1 × x2 … × xn)

   移動平均 ・・・ 系列データの部分平均
    例えば、直近データ+、古いデータ−で直近の傾向把握

   相加平均≧相乗平均
    ・・・ (a+b)/2−√ab = (√a2+√b2)/2−√a√b = (√a−√b)2/2≧0

 偏差 ・・・ 平均からのずれ
  xi−μ

 散布度 ・・・ 分布の散らばり
  分散 σx2、Var(x)、Var(xx) ・・・ = (平方の平均)−(平均の平方)
   = 1/n i=1Σn (xi − μ)2i=1Σn (xi2) / n − μ2
    ・・・1/n {(x12 − 2μx1 + μ2) + (x22 − 2μx2 + μ2) + … + (xn2 − 2μxn + μ2) }
       = 1/n (x12 + x22 + … + xn2) − 1/n ・2μ(x1 + x2 + … + xn) + μ2
       1/n (x1 + x2 + … + xn) = μより
       Var(x) = 1/n i=1Σn (xi2) − 2μ2 + μ2
  共分散 σxy、Var(xy)
   = 1/n i=1Σn (xi − M(x)) (yi − M(y)) = i=1Σn (xiyi) / n − M(x)M(y)
    ・・・ = 1/n (x1y1 + x2y2 + … + xnyn) − 1/n ・M(y)(x1 + x2 + … + xn) − 1/n ・M(x)(y1 + y2 + … + yn) + M(x)M(y)
        = 1/n i=1Σn (xiyi) − M(y)M(x) − M(x)M(y) + M(x)M(y)

  標準偏差 σx、σ(x)
   = √Var(x)

 相関係数 r
  = Var(xy) / √(Var(x)・Var(y))

  −1≦r≦1
   1  相関 強
   0  無相関
   −1 負の相関 強

 分布
  度数分布

   柱状度数図(ヒストグラム)
   度数分布多角形

   累積相対度数分布

    ローレンツ曲線
     縦軸、横軸 − 累積相対度数

     ジニ係数 ・・・ 集中度・偏在度の指標
      = ローレンツ曲線と均等線(45度線)の間の面積 / 全体の面積(= 1/2 × 1 × 1)
      = ローレンツ曲線と均等線の間の面積 × 2

      0:完全平等 ・・・ ローレンツ曲線=均等線
      1:独(り)占(め)

  確率分布

   離散分布

    超幾何分布 p(x)
     N個からn個を抽出し、うちAであるものがx個となる確率
      ・ 非復元抽出(元に戻さない)
      ・ N個のうちAであるものがN'個、AでないものがN−N'個

     確率関数 p(x)
      = (N'CxN-N'Cn-x) / NCn

      x=0Σn p(x) = 1

    二項分布
     (事象E、Fのうち)事象Eが起こる(確率:p)の試行をn回繰り返したとき、事象Eがx回起こる確率
     超幾何分布でN→∞としたときの極限

     確率関数 p(x)
      = nCx px(1−p)n-x (x = 0、1、…、n)
       n:試行回数
       np:期待値
        = μ

    多項分布
     事象E1、E2、…、Ekのうちいずれか1つが起こる(確率:p1、p2、…、pk)試行をn回繰り返したとき、事象E1がx1回、E2がx2回、…、Ekがxk回起こる確率

     確率関数 p(x1、x2、…、xk)
      = n! / {x1!x2!…xk!} × p1x1p2x2…pkxk

    ポアソン分布
     二項分布でnp一定(=μ)のままn→∞、p→0としたときの極限
      確率 p→0 ・・・ 稀に起こる

     確率関数 p(x)
      = μxe / x!

   正規分布(ガウス分布) N(μ,σ2) ・・・ 釣鐘型
    μ = M(x)、σ2 = Var(x)

    確率密度関数 p(x)
     = 1/{σ√(2π)} e-(x-μ)2/2σ2 (−∞<x<∞)

    ∫-∞p(x)dx = 1

    標準正規分布 N(0,1) ・・・ μ=0、σ2=1

     z = (x−μ)/σ ・・・ 標準化

     確率密度関数 p(z)
      = 1/{√(2π)} e-z2/2 (−∞<x<∞)

   標本分布
    t分布(スチューデント分布) ・・・ 釣鐘型
     母集団が正規分布(母平均 μ、母分散 未知)、標本平均 \( \bar{x} \)、標本分散 sx2のとき
     t = √n(\( \bar{x} \) − μ) / sx
      n−1:自由度(n:データ数)

     n→∞ ⇒ t分布→標準正規分布

    カイ2乗分布(χ2分布)
     母集団が正規分布(母平均 μ、母分散 σ2)、標本平均 \( \bar{x} \)、標本分散 sx2のとき
     χ2 = (n−1)(sx2 / σ2)
      n−1:自由度

 母集団

  正規分布   ↑

  標本 Sample

   大きさ n ・・・ データ数

   標本分布   ↑

  母平均 μ、M(x) ・・・ 期待値 E(x)

   標本平均 \( \bar{x} \)、m(x)
    = i=1Σn xi / n ・・・ 平均   ↑

    i=1Σn (xi−\( \bar{x} \)) = 0

  母分散 σx2、Var(x)、Var(xx)

   標本分散 sx2、var(x)、var(xx)
    = 1/(n−1) i=1Σn (xi−\( \bar{x} \))2 ・・・ 不偏分散
     自由度 = データ数(=n)−1 ・・・ 標本から得た\( \bar{x} \)の分を差し引く

  母標準偏差 σx、σ(x)

   標本標準偏差 sx
    = √sx2

  母共分散 σxy、Var(xy)

   標本共分散 sxy、var(xy)
    = 1/(n−1) i=1Σn (xi−\( \bar{x} \))(yi−\( \bar{y} \)) ・・・ 不偏共分散

  大数法則
   データ数 n→∞で、標本平均→母平均(期待値)へ収束

 推定 ・・・ 標本データから母集団推定

 ベイズ推定
  P(F|E) = (P(F)・P(E|F)) / P(E) ・・・ ベイズ定理   ↑
   P(F|E) :事後確率(事象Eが起こった後事象Fが起こる確率)
   P(F):事前確率(事象Fが起こる確率)
   P(E|F):尤度[関数]

 検定 Test ・・・ 標本データの信頼性

 R言語
 ・
 ・
 ・



記号の上付、下付ずれ有り

MathJax   
 行列、行列式、

 [Math Processing Error]  ・・・ ブラウザ未対応

 Ex.
  インライン \( \sqrt{\frac{\pi^2}{n^2}}\times\omega \)

\[ \sum_{i=1}^\infty \]