「確率」は日常的に使われている言葉。
率（割合）の一種。
ある事象（イベント） Eが起こる率。P(E)。
Eが起こらない率。P(E)。余事象。
P(E) ＋ P(E) ＝ 1
１から６の目のサイコロを振って、５の目が出る確率 1/6（６分の１）。
また続けて５の目が出る確率 1/6 × 1/6 ＝ 1/36。
繰り返し試行（操作）。
硬貨（コイン）の表か裏か
５回繰り返して少なくとも表が１回出る確率は
31/32。
５回連続で裏が出る確率が(1/2) 5 = 1/32
その余事象 1 － 1/32 ＝ 31/32
こんな感じで、
トランプ
くじ引き（抽選）
などなど
毎回試行（操作）するたびに同じ結果にならない、
そんな時、確率・統計の出番。
リーグ戦
一例。大学入学共通テスト2026 数学Ⅰ、数学Ａ 第４問。
３人総当たり
引き分けなし。
Ａ、Ｂ、Ｃみな勝つ確率が1/2ならば、優勝する確率みな等しく1/3になるが、
Ａが対戦相手に勝つ確率2/3
Ｂ、ＣがＡ以外に勝つ確率1/2
という条件。
勝ち数の一番多い人が優勝。
勝ち数が並んだ場合抽選。n人が並んだ場合、選ばれる確率1/n。
Ａが優勝する確率を求める問題。
Ａの勝敗は以下４通り。
| Ａ対Ｂ | Ａ対Ｃ | 確率 |
| ○ | ○ | 2/3 × 2/3 ＝ 4/9 |
| ○ | × | 2/3 × 1/3 ＝ 2/9 |
| × | ○ | 1/3 × 2/3 ＝ 2/9 |
| × | × | 1/3 × 1/3 ＝ 1/9 |
Ａが２勝（全勝）の場合、Ａが優勝。
その確率4/9。
１勝１敗の確率も4/9だが、ＢかＣが２勝すると優勝できない。
ＡがＢに勝ってＣに負ける場合、ＢがＣに勝つ必要がある（１通り）。
| A | B | C | |
| A | ○ 2/3 | × 1/3 | |
| B | × | ○ 1/2 | |
| C | ○ | × |
ＢがＣに勝つ確率は1/2なので、
2/9 × 1/2 ＝ 1/9 ・・・ 確率の積
ＡがＣに勝ってＢに負ける場合もある。
こちらも同様。確率1/9
１勝１敗でＡ、Ｂ、Ｃが並ぶ確率
1/9 ＋ 1/9 ＝ 2/9
かつ抽選で勝つ確率が1/3なので、
Ａが１勝１敗で優勝する確率は、
2/9 × 1/3 ＝ 2/27
Ａが優勝する確率は、
２勝の場合と１勝１敗の場合の確率の和。
4/9 ＋ 2/27 ＝ 14/27
ついでながらＢが優勝する確率を同じように求めると
２勝の場合
1/3 × 1/2 ＝ 1/6
１勝１敗でＡに勝つ場合（かつＣに負け）
1/3 × 1/2 ＝ 1/6
かつＡがＣに勝つ場合（確率2/3）
1/6 × 2/3 ＝ 1/9
かつ抽選
1/9 × 1/3 ＝ 1/27
１勝１敗でＡに負ける場合（かつＣに勝ち）
2/3 × 1/2 ＝ 1/3
かつＡがＣに負ける場合（確率1/3）
1/3 × 1/3 ＝ 1/9
かつ抽選
1/9 × 1/3 ＝ 1/27
以上、Ｂが優勝する確率は、
1/6 ＋ (1/27 ＋ 1/27) ＝ 13/54
ＣもＢと同じ。
Ａ －－－ 14/27（28/54）
Ｂ －－－ 13/54
Ｃ －－－ 13/54
足し合わせると１
(1 － 14/27) ÷ 2からも求められる。
４人総当たり
Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄみな勝つ確率が1/2ならば、優勝する確率みな等しく1/4になるが、
Ａが対戦相手に勝つ確率2/3
Ｂ、Ｃ、DがＡ以外に勝つ確率1/2
３人総当たりの時と同じ条件。
Ａが３勝（全勝）の場合、Ａが優勝。その確率は、
2/3 × 2/3 × 2/3 ＝ 8/27
Ａが２勝１敗の場合、
全敗がいる場合といない場合の場合分け。
例えばＤが全敗する場合、その確率は、
2/3 × 1/2 × 1/2 ＝ 1/6
| A | B | C | D | |
| A | ○ | |||
| B | ○ | |||
| C | ○ | |||
| D | × 2/3 | × 1/2 | × 1/2 |
ＡがＢに勝ってＣに負ける場合、
ＢがＣに勝ってくれないとＣが全勝優勝。
| A | B | C | |
| A | ○ 2/3 | × 1/3 | |
| B | × | ○ 1/2 | |
| C | ○ | × |
上の表のようになる確率は、
2/3 × 1/3 × 1/2 ＝ 1/9
ＡがＣに勝ってＢに負ける場合も同様。確率1/9。
※ 上の３人総当たりで解いている
Ｄが全敗かつＡ、Ｂ、Ｃが２勝１敗で並ぶ確率は、
1/6 × (1/9 ＋ 1/9) ＝ 1/27
かつ抽選 × 1/3
＝ 1/81
Ｄの他、Ｂ、Ｃが全敗する場合もあるので（３通り）、
Ａが２勝１敗で、かつ全敗がいる場合の優勝確率
1/81 × 3 ＝ 1/27
Ａが２勝１敗で、かつ全敗がいない場合、
例えばＡがＢに負けて、ＣとＤに勝つ場合、その確率は、
1/3 × 2/3 × 2/3 ＝ 4/27
| A | B | C | D | |
| A | × 1/3 | ○ 2/3 | ○ 2/3 | |
| B | ○ | |||
| C | × | |||
| D | × |
残りの部分は以下４通り。
| B | C | D | |
| B | ○ 1/2 | × 1/2 | |
| C | × | ○ 1/2 | |
| D | ○ | × |
| B | C | D | |
| B | × | ○ | |
| C | ○ | × | |
| D | × | ○ |
| B | C | D | |
| B | × | × | |
| C | ○ | ○ | |
| D | ○ | × |
| B | C | D | |
| B | × | × | |
| C | ○ | × | |
| D | ○ | ○ |
いずれも表のようになる確率は、
1/2 × 1/2 × 1/2 = 1/8
ＡがＢに負けて、ＣとＤに勝つ場合、Ａが優勝する確率は、
4/27 × (1/8 × 4)
かつ抽選 × 1/2
※ ２人が２勝１敗で並ぶ
＝ 1/27
ＡがＢの他、Ｃ、Ｄに負ける場合もあるので（３通り）、
Ａが２勝１敗で、かつ全敗がいない場合の優勝確率
1/27 × 3 ＝ 1/9
Ａが２勝１敗で優勝する確率は、
1/27 ＋ 1/9 ＝ 4/27
Ａが優勝する確率は、
8/27 ＋ 4/27 ＝ 12/27 ＝ 4/9
３人の時の優勝確率が14/27なので、
４人の時の優勝確率は2/27だけ「小さい」。
３人よりも４人の戦いのほうが優勝確率が「小さい」というのは計算しなくても何となく分かる。
ついでながらＢ、Ｃ、Ｄの優勝確率は、
(1 － 4/9) ÷ 3 ＝ 5/27。
確率の積は、∩（かつ）
確率の和は、∪（または）
表を書くなどして、根気よく取り組む。
