ベクトルについて -初歩、内分・外分、-

TECH(工科)

 前回、三角形などの図形を描いて昔を思い出したので、
 ついでにベクトルについて少しまとめてみた。

 ベクトルという言葉自体は、専門用語の域を出て、時々使われているのを耳にするが、記憶を辿ると初出は高校の数学。
 始めは矢印でABなどと表記されていたが、
 やがて太字だけの表記が主流になった。
 太字がベクトルで、細字がスカラー。
 スカラーとは日頃使っている数量のことで、大きさや質量など。
 ベクトルは大きさに加えて向きが備わる。

 コンピューターで矢印つけようとすると少々面倒なので、以下太字で表記したが、念のため青字にしておいた。
 ふりがな(ルビ)が使えるので、今回はルビに→を入力して済ませたが、心許ないので、こちらも青字にしておいた。

 なお、MathJaxを使えばキレイに表示できる。

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ベクトルの初歩

 では、ベクトルの初めの一歩。

 下の図の矢印は、みんなベクトル。

図1

 ベクトルCPaCQbと表すと残りの矢印(ベクトル)もみなabで表すことができる。

 CPを平行移動したベクトルQRa  
 CQを平行移動したPRb

 abも位置はどこでも構わない。
 大きさ(長さ)と向きが同じならば同じベクトル。

 上の図のCQの矢印の向きはQからCになっているが、QC=-b

 abCR。平行四辺形CPRQの対角線。

 abQP。平行四辺形CPRQのもう1つの対角線であり、三角形(△)CPQのもう1つの辺。
 baPQabと同じ大きさ。

 PQCQCPといった具合にパッと書き換えられるようにしておく。

 (ab)/2=CM。CRの中点。
 PQの中点も
 CQ+(1/2)QPb+(ab)/2=(ab)/2

 2辺CP、CQの大きさ(長さ)が分かっていても△CPQの形・大きさは決まらないが、
 2辺CP、CQの大きさと向きが決まっていれば、△CPQの形・大きさが1つに決まる。
 つまり(平行でない)2つのベクトルabだけで三角形(△)が決まる。

 abを数値で表記する場合、成分表示(言わば座標表示)になる。
 たとえば、a=(3,4)、b=(4,1)といった具合。
 ( )の中の成分を縦に並べて書くこともできる。
 ともかく(平面の場合)2つの数値があれば大きさと向きが決まり、もう1組あれば三角形(△)が決まる。
 abの大きさ(すなわちスカラー)a、bは、それぞれ5、√17だが、ページの最後でもう一度触れる。

 幸いベクトルの計算は、足し算・引き算難しくない。

 たとえば、上の△CPQの頂点C、P、Qの座標をC (1,1)、P (4,5)、Q (5,2)とすると
 x成分、y成分の引き算、足し算で、
 a=(3,4)、b=(4,1)
 ba=(1, -3)、ab=(-1,3)
 ab=(7,5)
  ※ 点Rの座標は始点Cの座標 (1,1)を足して(8,6)
 (ab)/2=(7/2,5/2)
  ※ 点Mの座標は(1,1)を足して(9/2,7/2)
となる。

 abはx方向、y方向の単位ベクトル(大きさ1のベクトル)を使って、
 a=3+4b=4+と表記することもできる。
 =(1,0)、=(0,1)なので、
 a=3・(1,0)+4・(0,1)=(3,4)
 b=4・(1,0)+1・(0,1)=(4,1)
といった具合。

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位置ベクトル

 下の図の△CPQと△OABは同じ形・大きさの三角形。合同。位置が違うだけ。 

図2

 abと同じベクトルは無数に存在しうるが、
 X-Y座標の原点O (0,0)を始点としたabは、その終点が座標そのものになる。
 aOAbOB
 一番分かりやすい位置ベクトル

 OC=(1,1)、OP=(4,5)、OQ=(5,2)も
 点C、P、Qの座標そのもの。

 上の図の△OABを点Cの座標分つまりx方向に1、y方向に1移動させると△CPQと重なる。
 OACPa
 OBCQ=b

 CP=OPOC=(3,4)=a
 CQOQOC=(4,1)=b
 点A、Bの座標。

 △CPQも△OABもベクトル的には同じ。abは同じ。

 なお、OCOCCC(零ベクトル)。

 ABの中点もPQの中点も (ab)/2=(7/2,5/2)
 ただし、ABの中点の座標は、(OAOB)/2=(7/2,5/2)
 PQの中点(点M)の座標は、(OP+OQ)/2=(9/2,7/2)

内分・外分、

図3

 線分の中点は線分が1:1に分けられる点(等しく内分される点)だが、
 線分ABがm:nに分けられる場合、
 つまりBN=n、NA=mのとき、
 内分点Nの位置ベクトル ON(na+mb)/(m+n)
 たすきがけのイメージ。
 m=n=1のとき、(ab)/2になる。

 外分も分け方を覚えておく。
 前回のメネラウスの定理や方冪(べき)の定理も覚えやすくなる。
 行って戻ってのイメージ。
 線分BAをn:mに外分する点をLとしたとき、
 つまりBL=n、LA=mのとき、
 外分点Lの位置ベクトル OL(na-mb)/(-m+n)
 線分ABをm:nに外分する場合は、(-na+mb)/(m-n)

三角形の重心

 三角形の重心は頂点から重心を通る中線を2:1に内分する点。  
 △CPQの重心 Gは一番上の図1において
 CG=(2/3) CM
 CM=(ab)/2なので、
 CG(ab)/3

 Gは線分CMを2:1に内分する点なので、上の内分点の位置ベクトルの式に当てはめてみると
 OG=(OC+2OM)/3
 OM=(OP+OQ)/2なので、
 OG=(OCOPOQ)/3=(10/3,8/3)

 △OABの重心は、(OOOAOB)/3=(ab)/3=(7/3,5/3)

 OGOCCGでもある。

 一般に△ABCの位置ベクトルがabcならば、重心の位置ベクトルは、
 (abc)/3

ベクトルの大きさ

 いつまで経ってもベクトルとベクトルの割り算が出てこない---
 となれば、難しくない---
 と思ったこともあるが、
 掛け算がaba×bで違う。
 abbaなのにa×bb×aではない。
 ホワイですね。

 とりあえず最初は2次元(平面)なので、abだけ。
 この場合のベクトルとベクトルの積はベクトルにならずスカラー。
 積は積でも内積(スカラー積)と呼ばれ、
 x成分同士、y成分同士掛けたものを足し合わせると得られる。
 a=(s,t)、b=(u,v)のとき、ab=s・u+t・v
 a=(3,4)、b=(4,1)ならば、ab=16

 aabb は、それぞれab の大きさの2乗。つまり
 |a|=a=√(s2+t2)、|b|=b=√(u2+v2) ・・・ ルートです
 a=5、b=√17
となる。

 このへんで一区切り。


 直線や円は、従来の方程式つまりy=ax+bやx2+y2=r2などでシンプルに表せるが、
 三角形、四角形、多角形の方程式はシンプルとは言い難く、見掛けることもほとんどない。

 そんな時にベクトル現る。

 ベクトルを使うと分点など割り出せて、三角形の重心も容易に求まる。
 直線も円もベクトルで表せるので(ベクトル方程式)、
 ベクトルを使った表現方法も学んでおくと、あとあといろいろ理解できるようになる……。

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ふシゼン
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