今年は大学入学共通テストが難しくなった、というニュースとともに問題を目にしてしまった。しまった。
※ 昨年から大学入試センター試験が大学入学共通テストに変わった
数学Ｉ・数学Ａ 第５問
『△ABCの重心をGとし、線分AG上で点Aとは異なる位置に点Dをとる。直線AGと辺BCの交点をEとする。また、直線BC上で辺BCにはない位置に点Fをとる。直線DFと辺ABの交点をP、直線DFと辺ACの交点をQとする。』
以下、 ■ が埋めていく解答欄。
描いてみると下のような図になる。
（１）
『点Dは線分AGの中点であるとする。このとき、△ABCの形状に関係なく、
AD／DE＝ ■』
AD：DG ＝ 1：1なので、点D、P、Qは上の図１よりもう少し上になるが、ひとまず直線と三角形 △に関する問題のよう。
三角形の重心はAG：GE ＝ 2：1。
※ そう決まっている。点Eは辺BCの中点。
AD：DG：GE ＝ 1：1：1で、AD：DE ＝ 1：2。AD／DE ＝ 1／2。
『また、点Fの位置に関係なく、
BP／AP＝ ■ ．CQ／AQ＝ ■ 』
メネラウスの定理を使う。
ページ下にメモしておいた。
・ △ABCにおいて
AP／PB ・ CQ／QA ・ BF／FC ＝ 1
・ △ADEにおいて
AP／PB ・ AD／DE ・ BF／FE ＝ 1
BP／AP ＝ AD／DE ・ BF／FE ＝ 2BF／EF
CQ／AQ ＝ FC／BF ・ PB／AP ＝ CF／BF ・ 2BF／EF ＝ 2CF／EF
『であるので、つねに
BP／AP ＋ CQ／AQ＝ ■ 』
BP／AP ＋ CQ／AQ ＝ ２BF／EF ＋ ２CF／EFに
BF ＝ BC + CF、EF ＝ 1／2 BC ＋ CFを代入すると
BP／AP ＋ CQ／AQ ＝ ４(BC + 2CF) ／ (BC + 2CF) ＝ 4
なお、上のBP／AP、CQ／AQが求められなくても
BP／AP ＋ CQ／AQは、
『点Fの位置に関係なく……つねに』つまり一定の値なので、
求まる。
上の図１において点Fを右へ動かしていくと点Pが下がって点Qが上がって、直線PDQは直線BCFと平行に近づいていく。
点Fが無限遠のとき、△APQが△ABCと（△APDが△ABEと）相似に近づいていくので、
BP／AP ≒ CQ／AQ ≒ DE／AD
AD／DE ＝ 1／2なので
BP／AP ＋ CQ／AQ ≒ 4
（２）
せっかくなので、続きも……。
『AB=9、BC=8、AC=6とし、（１）と同様に、点Dは線分AGの中点であるとする。ここで、４点B、C、Q、Pが同一円周上にあるように点Fをとる。このとき……
AQ= ■ ．AP= ■ 』
下のような図になる。上の図１に円を加えただけ。
各辺の値が9、8、6でなく、点C、Qもちょっとズレているけどイメージです。
４点が同一円周上にある－－－
今度は方冪（べき）の定理。
これもページ下にメモしておいたが、
AP ・ AB ＝ AQ ・ AC。
AQ ＝ (AB／AC) ・ AP ＝ 3／2 ・ AP
（１）で導き出したBP／AP ＋ CQ／AQ ＝ 4と
BP ＝ AB － AP、CQ ＝ AC － AQから
(9 － AP)／AP ＋ (12 － 3AP)／3AP ＝ 4
⇒ 27 － 3AP + 12 － 3AP ＝ 12AP
⇒ 39 ＝ 18AP
AP ＝ 13／6、AQ ＝ 13／4
『であり
CF= ■ 』
（１）で導き出したCQ／AQ ＝ ２CF／EFを使うと
2／13 ・ CQ ・ EF ＝ CF
CQ ＝ AC － AQ、EF ＝ 1／2 BC ＋ CFなので、
13CF ＝ 2(6 － 13／4)・(4 ＋ CF)
⇒ 26CF ＝ 44 ＋ 11CF
⇒ 15CF ＝ 44
CF ＝ 44／15
（３）
『△ABCの形状や点Fの位置に関係なく、つねにBP／AP ＋ CQ／AQ ＝ 10となるのは、
AD／DG＝ ■
のときである』
（１）の最後と同じで、
点Fが無限遠のとき、
BP／AP ≒ CQ／AQ ≒ DE／AD
BP／AP ＋ CQ／AQ ＝ 10になるのはDE／AD ＝ 5のとき。
AE ＝ AD + DEより
AE = 6AD
また、DG ＝ DE － EG、EG = 1／3 AEより
DG ＝ 5AD － 2AD ＝ 3AD
AD／DG ＝ 1／3
制限時間があるので、メネラウスの定理を知っていないと（１）の真ん中、その解答を用いる（２）のCFが求まらない。
上では省いたが、『解答群』からの選択がヒントか……。
知っていなくても（１）の最後と（３）は求まる。
メネラウスの定理
直線PQが直線BCと（点Rで）交わるとき、
AP／PB ・ CQ／QA ・ BR／RC ＝ 1
PとQは辺AB、辺ACの内分点、Rは辺BCの外分点。
△ABCの点A、B、Cから直線PQRに下ろした垂線の足を点S、T、Uとすると
・ △APSと△BPTが相似（∽） ⇒ AP／BP ＝ AS／BT
・ △AQS ∽ △CQU ⇒ AQ／CQ ＝ AS／CU
・ △BRT ∽ △CRU ⇒ BR／CR ＝ BT／CU
AP／BPとCQ／AQとBR／CRを掛けると１になる。
チェバの定理
昔使った参考書を見たらメネラウスの定理の隣に
チェバの定理も載っていた。
３つの線分AR、BQ、CPが１点で交わるとき、
AP／PB ・ BR／RC ・ CQ／QA ＝ 1
メネラウスの定理を使うと
AP／PB ・ AO／OR ・ BC／CR ＝ 1
AQ／QC ・ AO／OR ・ CB／BR ＝ 1
上２式よりAO／ORを消去すると
AP／PB ・ BC／CR ＝ AQ／QC ・ CB／BR
⇒ AP／PB ・ BR／CR ＝ AQ／QC
全辺内分なのでメネラウスの定理よりも覚えやすい。
方冪（べき）の定理
円周上の４点B、C、P、Qと円内で交わる点R、円外で交わる点Aについて、
PR ・ RC ＝ QR ・ RB
AP ・ AB ＝ AQ ・ AC
弧PQの円周角 ∠PBQ ＝ ∠PCQなので、
△PRB∽△QRC ⇒ PR：QR ＝ RB：RC
△AQB∽△APC ⇒ AQ：AP ＝ AB：AC
